Номер 19.52, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.52. Площади боковых граней прямоугольного тетраэдра равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Найдите радиус сферы, вписанной в тетраэдр.

Пусть дан прямоугольный тетраэдр. Это тетраэдр, у которого три грани, сходящиеся в одной вершине, являются прямоугольными треугольниками, а ребра, выходящие из этой вершины, взаимно перпендикулярны. Обозначим длины этих ребер как $a$, $b$ и $c$.

Площади боковых граней, которые являются прямоугольными треугольниками с катетами $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$, по условию равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Таким образом, мы можем записать:

$S_1 = \frac{1}{2}ab$
$S_2 = \frac{1}{2}bc$
$S_3 = \frac{1}{2}ca$

Радиус $r$ сферы, вписанной в любой тетраэдр, можно найти по общей формуле, связывающей объем тетраэдра $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$:

$r = \frac{3V}{S_{полн}}$

Сначала найдем объем тетраэдра $V$. Объем прямоугольного тетраэдра с взаимно перпендикулярными ребрами $a$, $b$, $c$ вычисляется как:

$V = \frac{1}{6}abc$

Чтобы выразить объем через $S_1$, $S_2$, $S_3$, найдем произведение $abc$. Из формул для площадей имеем: $ab = 2S_1$, $bc = 2S_2$, $ca = 2S_3$. Перемножим эти три равенства:

$(ab)(bc)(ca) = (2S_1)(2S_2)(2S_3)$
$a^2b^2c^2 = 8S_1S_2S_3$
$abc = \sqrt{8S_1S_2S_3} = 2\sqrt{2S_1S_2S_3}$

Теперь подставим найденное значение в формулу для объема:

$V = \frac{1}{6}(2\sqrt{2S_1S_2S_3}) = \frac{\sqrt{2S_1S_2S_3}}{3}$

Далее найдем площадь полной поверхности тетраэдра $S_{полн}$. Она равна сумме площадей всех четырех граней:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + S_{осн}$

где $S_{осн}$ — это площадь четвертой грани (основания), которая не является прямоугольным треугольником. Для прямоугольного тетраэдра площадь основания связана с площадями боковых граней теоремой де Гуа (пространственный аналог теоремы Пифагора):

$S_{осн}^2 = S_1^2 + S_2^2 + S_3^2$

Отсюда, $S_{осн} = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}$.

Таким образом, площадь полной поверхности равна:

$S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 + \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}$

Наконец, подставим найденные выражения для объема $V$ и площади полной поверхности $S_{полн}$ в формулу для радиуса вписанной сферы:

$r = \frac{3V}{S_{полн}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2S_1S_2S_3}}{3}}{S_1 + S_2 + S_3 + \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}$

После упрощения получаем:

$r = \frac{\sqrt{2S_1S_2S_3}}{S_1 + S_2 + S_3 + \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}$

Ответ: $r = \frac{\sqrt{2S_1S_2S_3}}{S_1 + S_2 + S_3 + \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}$