Номер 19.47, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.47. Найдите объём равногранного тетраэдра, если его скрещивающиеся рёбра равны $a, b$ и $c$.

Решение

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Важным свойством такого тетраэдра является то, что его скрещивающиеся (противоположные) рёбра попарно равны. Пусть длины трёх пар скрещивающихся рёбер равны $a, b$ и $c$.

Для нахождения объёма такого тетраэдра удобно использовать метод вписывания его в прямоугольный параллелепипед. Пусть размеры этого параллелепипеда равны $x, y, z$. Можно вписать равногранный тетраэдр в параллелепипед так, чтобы его шесть рёбер стали диагоналями шести граней параллелепипеда.

При этом длины рёбер тетраэдра $a, b, c$ будут связаны с размерами параллелепипеда $x, y, z$ следующими соотношениями (по теореме Пифагора для диагоналей граней):

$a^2 = y^2 + z^2$
$b^2 = x^2 + z^2$
$c^2 = x^2 + y^2$

Мы получили систему трёх линейных уравнений относительно $x^2, y^2, z^2$. Решим её. Сложим все три уравнения:

$a^2 + b^2 + c^2 = (y^2 + z^2) + (x^2 + z^2) + (x^2 + y^2) = 2(x^2 + y^2 + z^2)$

Отсюда:

$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2}$

Теперь найдём $x^2, y^2$ и $z^2$ поочерёдно, вычитая из полученного выражения исходные уравнения:

$x^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (y^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - a^2 = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$

$y^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - b^2 = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$

$z^2 = (x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2) = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} - c^2 = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V_p$ равен произведению его измерений: $V_p = xyz$.
Объём тетраэдра $V$, вписанного в него таким образом, составляет $1/3$ объёма параллелепипеда. (Объём параллелепипеда складывается из объёма тетраэдра и четырёх "угловых" тетраэдров, объём каждого из которых равен $1/6$ от объёма параллелепипеда. Тогда $V = V_p - 4 \cdot \frac{1}{6}V_p = \frac{1}{3}V_p$).

Итак, $V = \frac{1}{3} xyz$.

Возведём объём в квадрат для удобства вычислений:

$V^2 = \frac{1}{9} x^2 y^2 z^2 = \frac{1}{9} \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}\right) \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}\right) \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}\right)$

$V^2 = \frac{1}{72} (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + c^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2)$

Извлекая квадратный корень, получаем формулу для объёма:

$V = \sqrt{\frac{1}{72} (a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}$

Упростим коэффициент: $\sqrt{\frac{1}{72}} = \sqrt{\frac{1}{36 \cdot 2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{12}$.

Таким образом, итоговая формула для объёма:

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \sqrt{(a^2 + b^2 - c^2)(a^2 + c^2 - b^2)(b^2 + c^2 - a^2)}$