Номер 19.50, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.50. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см. На отрезке $DB_1$ отметили точки $K$ и $F$, а на отрезке $AC$ — точки $M$ и $P$. Известно, что $KF = 3$ см, $MP = 2$ см. Найдите объём тетраэдра $KFMP$.

Для вычисления объёма тетраэдра $KFMP$ воспользуемся формулой для объёма тетраэдра, построенного на двух отрезках ($KF$ и $MP$), лежащих на скрещивающихся прямых ($DB_1$ и $AC$ соответственно):

$V = \frac{1}{6} \cdot KF \cdot MP \cdot d \cdot \sin\alpha$,

где $KF$ и $MP$ — длины данных отрезков, $d$ — расстояние между прямыми $DB_1$ и $AC$, а $\alpha$ — угол между ними.

Сначала найдём угол $\alpha$ между прямыми $AC$ и $DB_1$. Диагональ основания $AC$ перпендикулярна другой диагонали основания $DB$. Также $AC$ перпендикулярна боковому ребру $DD_1$ (так как $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания). Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DB$ и $DD_1$) в плоскости диагонального сечения $DBB_1D_1$, она перпендикулярна и всей этой плоскости. Прямая $DB_1$ лежит в этой плоскости, следовательно, $AC \perp DB_1$. Таким образом, угол $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$.

Теперь найдём расстояние $d$ между прямыми $AC$ и $DB_1$. Так как $AC \perp$ плоскости $DBB_1D_1$, то расстояние между прямыми равно расстоянию от точки $O$ (пересечение $AC$ и $DB$) до прямой $DB_1$. Это расстояние является высотой $OH$ треугольника $DOB_1$, опущенной из вершины $O$ на сторону $DB_1$.

Рассмотрим прямоугольник $DBB_1D_1$. Сторона куба равна 6 см. Диагональ основания $DB = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2}$ см. Точка $O$ — середина $DB$, поэтому $DO = \frac{1}{2} DB = 3\sqrt{2}$ см. Главная диагональ куба $DB_1 = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь треугольника $DOB_1$ можно найти двумя способами. С одной стороны, $S_{\triangle DOB_1} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 = 9\sqrt{2}$ см$^2$ (где $BB_1=6$ см — высота, опущенная из вершины $B_1$ на прямую, содержащую основание $DO$).С другой стороны, $S_{\triangle DOB_1} = \frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot d$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot d = 9\sqrt{2}$

$3\sqrt{3} \cdot d = 9\sqrt{2}$

$d = \frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$ см.

Теперь можем вычислить объём тетраэдра. По условию $KF = 3$ см и $MP = 2$ см. Подставляем все значения в формулу:

$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$ см$^3$.

Ответ: $\sqrt{6}$ см$^3$.