Номер 19.44, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.44. Объём призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен $V$. На боковых рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM = MA_1$ и $BN : NB_1 = 1 : 2$. Найдите объём многогранника $MNCA_1B_1C_1$.

Пусть $V$ — объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S \cdot H$, где $S$ — площадь основания $ABC$, а $H$ — высота призмы (длина боковых рёбер, если призма прямая, или перпендикулярное расстояние между основаниями, если призма наклонная).

Найдём объём многогранника $MNCA_1B_1C_1$, вычитая из объёма всей призмы $V$ объём "отсечённого" многогранника $ABCMN$. Плоскость, проходящая через точки $M, N, C$, отсекает от призмы многогранник $ABCMN$.

Объём тела, отсечённого от призмы плоскостью, можно найти по формуле:$V_{\text{отсеч}} = S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{ср}}$,где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания призмы, а $h_{\text{ср}}$ — средняя высота точек сечения над вершинами основания. Для треугольного основания средняя высота вычисляется как среднее арифметическое высот сечения над тремя вершинами основания.

В нашем случае основанием является треугольник $ABC$. Высоты сечения (плоскости $MNC$) над вершинами $A, B, C$ — это длины отрезков, параллельных боковым рёбрам, от вершин до плоскости сечения. Обозначим эти высоты как $h_A, h_B, h_C$.

1. Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, и по условию $AM = MA_1$. Это означает, что $M$ — середина ребра $AA_1$. Высота точки $M$ над основанием $ABC$ равна половине высоты призмы. Таким образом, высота сечения над вершиной $A$ равна $h_A = AM = \frac{1}{2}H$.

2. Точка $N$ лежит на ребре $BB_1$, и по условию $BN : NB_1 = 1 : 2$. Это означает, что $BN = \frac{1}{1+2} BB_1 = \frac{1}{3} BB_1$. Высота точки $N$ над основанием $ABC$ равна одной трети высоты призмы. Таким образом, высота сечения над вершиной $B$ равна $h_B = BN = \frac{1}{3}H$.

3. Точка $C$ является одной из вершин сечения и лежит в плоскости основания. Следовательно, высота сечения над вершиной $C$ равна нулю: $h_C = 0$.

Теперь найдём среднюю высоту:$h_{\text{ср}} = \frac{h_A + h_B + h_C}{3} = \frac{\frac{1}{2}H + \frac{1}{3}H + 0}{3}$

$h_{\text{ср}} = \frac{\frac{3H + 2H}{6}}{3} = \frac{\frac{5H}{6}}{3} = \frac{5H}{18}$

Теперь мы можем вычислить объём отсечённого многогранника $ABCMN$:$V_{ABCMN} = S \cdot h_{\text{ср}} = S \cdot \frac{5H}{18} = \frac{5}{18} SH$

Поскольку объём всей призмы $V = S \cdot H$, то объём $ABCMN$ равен $\frac{5}{18}V$.

Искомый объём многогранника $MNCA_1B_1C_1$ — это объём оставшейся части призмы:$V_{MNCA_1B_1C_1} = V_{ABCA_1B_1C_1} - V_{ABCMN} = V - \frac{5}{18}V = \frac{18V - 5V}{18} = \frac{13}{18}V$

Ответ: $\frac{13}{18}V$