Номер 19.43, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.43. Ребро $AB$ тетраэдра $DABC$ равно $a$. Точка $M$ — середина ребра $CD$. Плоскость $AMB$ образует с плоскостями $ABC$ и $ABD$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Площадь треугольника $AMB$ равна $S$. Найдите объём тетраэдра $DABC$.

Для решения задачи воспользуемся методом проекций. Объём тетраэдра $DABC$ можно вычислить по формуле, связывающей его с длиной ребра $AB$ и площадью проекции тетраэдра на плоскость, перпендикулярную этому ребру.

1. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MK$ на прямую $AB$. Длина этого перпендикуляра $MK$ является высотой треугольника $AMB$, опущенной на сторону $AB$. Обозначим её $h_M$. Площадь треугольника $AMB$ равна $S$, а длина стороны $AB$ равна $a$. Таким образом,$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_M = \frac{1}{2} a h_M$Отсюда находим высоту $h_M$:$h_M = \frac{2S}{a}$

2. Рассмотрим плоскость $\Pi$, проходящую через точку $K$ и перпендикулярную ребру $AB$. Спроектируем тетраэдр $DABC$ на эту плоскость.

• Ребро $AB$ проектируется в точку $K$.
• Вершины $C$ и $D$ проектируются в некоторые точки $C'$ и $D'$.
• Поскольку $M$ — середина отрезка $CD$, её проекция на плоскость $\Pi$ будет серединой проекции отрезка $C'D'$. Заметим, что точка $M$ уже лежит в плоскости, проходящей через $MK$ и перпендикулярной $AB$, поэтому $M$ проектируется сама в себя (если мы выберем плоскость $\Pi$ так, чтобы она содержала $M$). Таким образом, $M$ является серединой отрезка $C'D'$.
• Проекцией всего тетраэдра $DABC$ на плоскость $\Pi$ является треугольник $C'D'K$.

3. Объём тетраэдра $V$ связан с площадью этой проекции $S_{proj} = S_{C'D'K}$ и длиной ребра $AB=a$ следующей формулой:$V = \frac{1}{3} a \cdot S_{proj}$Наша задача сводится к нахождению площади треугольника $C'D'K$.

4. Рассмотрим ситуацию в плоскости $\Pi$.

• Прямая $KM$ является проекцией плоскости $AMB$ на плоскость $\Pi$.
• Прямая $KC'$ является проекцией плоскости $ABC$ на плоскость $\Pi$.
• Прямая $KD'$ является проекцией плоскости $ABD$ на плоскость $\Pi$.

Угол между плоскостями $(AMB)$ и $(ABC)$ равен $\alpha$, следовательно, угол между их проекциями на плоскость $\Pi$, прямыми $KM$ и $KC'$, также равен $\alpha$. То есть, $\angle MKC' = \alpha$. Аналогично, угол между плоскостями $(AMB)$ и $(ABD)$ равен $\beta$, следовательно, $\angle MKD' = \beta$. Поскольку вершины $C$ и $D$ находятся по разные стороны от плоскости $AMB$ (в невырожденном тетраэдре), их проекции $C'$ и $D'$ будут лежать по разные стороны от прямой $KM$.

5. Введём в плоскости $\Pi$ систему координат с центром в точке $K(0,0)$. Направим ось $Oy$ вдоль луча $KM$. Тогда точка $M$ имеет координаты $(0, h_M)$.

• Прямая $KC'$ проходит через начало координат и образует с осью $Oy$ угол $\alpha$. Её уравнение: $x = y \tan\alpha$.
• Прямая $KD'$ проходит через начало координат и образует с осью $Oy$ угол $-\beta$ (так как $D'$ по другую сторону от $KM$). Её уравнение: $x = y \tan(-\beta) = -y \tan\beta$.

Пусть координаты точки $C'$ равны $(x_{C'}, y_{C'})$. Тогда $x_{C'} = y_{C'} \tan\alpha$, или $y_{C'} = x_{C'} \cot\alpha$. Пусть координаты точки $D'$ равны $(x_{D'}, y_{D'})$. Тогда $y_{D'} = -x_{D'} \cot\beta$.

6. Точка $M(0, h_M)$ является серединой отрезка $C'D'$. Используем формулы для координат середины отрезка:$\frac{x_{C'} + x_{D'}}{2} = 0 \implies x_{D'} = -x_{C'}$$\frac{y_{C'} + y_{D'}}{2} = h_M \implies y_{C'} + y_{D'} = 2h_M$Подставим выражения для $y_{C'}$ и $y_{D'}$ через $x_{C'}$ и $x_{D'}$:$y_{C'} = x_{C'} \cot\alpha$$y_{D'} = -x_{D'} \cot\beta = -(-x_{C'}) \cot\beta = x_{C'} \cot\beta$Теперь подставим это в условие для суммы $y$-координат:$x_{C'} \cot\alpha + x_{C'} \cot\beta = 2h_M$$x_{C'} (\cot\alpha + \cot\beta) = 2h_M$Отсюда находим $x$-координату точки $C'$ (предполагая, что она положительна):$x_{C'} = \frac{2h_M}{\cot\alpha + \cot\beta}$

7. Теперь найдём площадь треугольника $C'D'K$. Основание $C'D'$ параллельно оси $Ox$, его длина равна $x_{C'} - x_{D'} = 2x_{C'}$. Высота, опущенная из точки $K$ на прямую $C'D'$... Это неверно. Площадь треугольника $C'D'K$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} |x_{C'}y_{D'} - x_{D'}y_{C'}|$.$S_{proj} = \frac{1}{2} |x_{C'}(x_{C'} \cot\beta) - (-x_{C'})(x_{C'} \cot\alpha)| = \frac{1}{2} |x_{C'}^2 \cot\beta + x_{C'}^2 \cot\alpha| = \frac{1}{2} x_{C'}^2 (\cot\alpha + \cot\beta)$Другой, более простой способ: площадь $S_{C'D'K}$ равна сумме площадей треугольников $KMC'$ и $KMD'$, так как $M$ - середина $C'D'$, а медиана $KM$ делит треугольник $C'D'K$ на два равновеликих треугольника. Это неверно, $KM$ не является медианой из вершины $K$. Воспользуемся формулой $S_{C'D'K} = \frac{1}{2} \cdot \text{высота от K до C'D'} \cdot |C'D'|$. Проще всего использовать $S_{proj} = S_{KMC'} + S_{KMD'}$. Прямая $C'D'$ не обязательно перпендикулярна $KM$. Проще всего так: $S_{proj} = \frac{1}{2} h_M \cdot |x_{D'} - x_{C'}| = \frac{1}{2} \cdot h_M \cdot 2|x_{C'}| = h_M |x_{C'}|$. (Высота треугольника $C'D'M$ из вершины $M$ равна $h_M - y_M'$, где $y_M'$ - координата середины $C'D'$, т.е. $y_M'=y_M$). Это сложно. Вернемся к координатной формуле $y_{C'} + y_{D'} = 2h_M$.$S_{proj} = h_M |x_{C'}| = h_M \cdot \frac{2h_M}{\cot\alpha + \cot\beta} = \frac{2h_M^2}{\cot\alpha + \cot\beta}$.

8. Подставим в эту формулу значение $h_M = \frac{2S}{a}$:$S_{proj} = \frac{2(\frac{2S}{a})^2}{\cot\alpha + \cot\beta} = \frac{2 \cdot \frac{4S^2}{a^2}}{\cot\alpha + \cot\beta} = \frac{8S^2}{a^2(\cot\alpha + \cot\beta)}$

9. Наконец, вычислим объём тетраэдра:$V = \frac{1}{3} a \cdot S_{proj} = \frac{1}{3} a \cdot \frac{8S^2}{a^2(\cot\alpha + \cot\beta)} = \frac{8S^2}{3a(\cot\alpha + \cot\beta)}$

Ответ: $V = \frac{8S^2}{3a(\cot\alpha + \cot\beta)}$