Номер 19.41, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.41. Площади граней $ABC$ и $DAB$ тетраэдра $DABC$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$, а двугранный угол тетраэдра при ребре $AB$ равен $\alpha$. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и центр вписанной в тетраэдр сферы.

Пусть дан тетраэдр $DABC$. По условию, площади граней $ABC$ и $DAB$ равны соответственно $S_1$ и $S_2$, а двугранный угол при ребре $AB$ равен $\alpha$. Требуется найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $AB$ и центр вписанной в тетраэдр сферы $O$.

Центр вписанной сферы (инцентр) тетраэдра равноудален от всех его четырех граней. Одним из свойств инцентра является то, что он лежит на биссекторных плоскостях всех двугранных углов тетраэдра.

Секущая плоскость $\Pi$ проходит через ребро $AB$ и инцентр $O$. Поскольку инцентр $O$ лежит на биссекторной плоскости двугранного угла при ребре $AB$, а сама эта плоскость также проходит через ребро $AB$, то секущая плоскость $\Pi$ и есть биссекторная плоскость двугранного угла при ребре $AB$. Это означает, что плоскость $\Pi$ делит двугранный угол $\alpha$ на два равных угла по $\alpha/2$.

Сечением тетраэдра является треугольник, проходящий через ребро $AB$. Обозначим этот треугольник $KAB$, где $K$ — точка пересечения секущей плоскости с ребром $CD$. Обозначим искомую площадь сечения как $S_{сеч} = S_{KAB}$.

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом объемов. Объем тетраэдра можно выразить через площади двух его граней, длину их общего ребра и синус двугранного угла между ними по формуле:$V = \frac{2 S_a S_b \sin\gamma}{3 c}$, где $S_a$ и $S_b$ — площади граней, $c$ — длина их общего ребра, а $\gamma$ — двугранный угол между гранями.

Применительно к нашему тетраэдру $DABC$ и граням $ABC$ и $DAB$, его объем равен:$V_{DABC} = \frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{3 |AB|}$.

Секущая плоскость $KAB$ разделяет тетраэдр $DABC$ на два меньших тетраэдра: $KABC$ и $KABD$. Объем исходного тетраэдра равен сумме их объемов: $V_{DABC} = V_{KABC} + V_{KABD}$. Выразим объемы этих двух тетраэдров по той же формуле:

Для тетраэдра $KABC$ гранями являются $KAB$ (площадь $S_{сеч}$) и $ABC$ (площадь $S_1$), общее ребро — $AB$. Двугранный угол между плоскостями этих граней равен $\alpha/2$. Таким образом, его объем:$V_{KABC} = \frac{2 S_{сеч} S_1 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|}$.

Для тетраэдра $KABD$ гранями являются $KAB$ (площадь $S_{сеч}$) и $DAB$ (площадь $S_2$), общее ребро — $AB$. Двугранный угол между плоскостями этих граней также равен $\alpha/2$. Его объем:$V_{KABD} = \frac{2 S_{сеч} S_2 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|}$.

Теперь приравняем объем исходного тетраэдра сумме объемов его частей:$V_{DABC} = V_{KABC} + V_{KABD}$$\frac{2 S_1 S_2 \sin \alpha}{3 |AB|} = \frac{2 S_{сеч} S_1 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|} + \frac{2 S_{сеч} S_2 \sin(\alpha/2)}{3 |AB|}$.

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{2}{3 |AB|}$:$S_1 S_2 \sin \alpha = S_{сеч} S_1 \sin(\alpha/2) + S_{сеч} S_2 \sin(\alpha/2)$$S_1 S_2 \sin \alpha = S_{сеч} (S_1 + S_2) \sin(\alpha/2)$.

Выразим искомую площадь $S_{сеч}$:$S_{сеч} = \frac{S_1 S_2 \sin \alpha}{(S_1 + S_2) \sin(\alpha/2)}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$:$S_{сеч} = \frac{S_1 S_2 \cdot 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}{(S_1 + S_2) \sin(\alpha/2)}$.

Поскольку двугранный угол тетраэдра $0 < \alpha < \pi$, то $\sin(\alpha/2) \neq 0$, и мы можем сократить на этот множитель:$S_{сеч} = \frac{2 S_1 S_2 \cos(\alpha/2)}{S_1 + S_2}$.

Ответ: Площадь сечения тетраэдра равна $\frac{2 S_1 S_2}{S_1 + S_2} \cos\frac{\alpha}{2}$.