Номер 19.40, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.40. Площади двух граней тетраэдра равны $S_1$ и $S_2$. Их общее ребро равно $a$, а двугранный угол тетраэдра при этом ребре равен $\alpha$. Докажите, что объём $V$ данного тетраэдра можно вычислить по формуле

$V = \frac{2S_1S_2 \sin \alpha}{3a}$.

Пусть в тетраэдре $DABC$ две грани $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ имеют площади $S_1$ и $S_2$ соответственно. Их общее ребро $AB$ имеет длину $a$, а двугранный угол при этом ребре равен $\alpha$.

Объем тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Примем грань $\triangle ABC$ за основание тетраэдра. Тогда $S_{осн} = S_1$, и объем равен $V = \frac{1}{3} S_1 H$, где $H$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость $(ABC)$. Наша задача — выразить $H$ через заданные величины $S_1, S_2, a, \alpha$.

Для нахождения высоты $H$ введем декартову систему координат.

1. Расположим общее ребро $AB$ на оси $Ox$ так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат $(0, 0, 0)$, а вершина $B$ имела координаты $(a, 0, 0)$.

2. Плоскость грани $\triangle ABC$ расположим в плоскости $Oxy$. Тогда вершина $C$ будет иметь координаты $(x_C, y_C, 0)$. Высота треугольника $\triangle ABC$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AB$, будет равна $|y_C|$. Площадь этого треугольника равна $S_1 = \frac{1}{2} |AB| \cdot |y_C| = \frac{1}{2} a |y_C|$. Отсюда мы можем выразить $|y_C| = \frac{2S_1}{a}$.

3. Плоскость грани $\triangle ABD$ проходит через ребро $AB$ (то есть через ось $Ox$) и образует с плоскостью $(ABC)$ (плоскостью $Oxy$) двугранный угол $\alpha$. Это означает, что плоскость $(ABD)$ может быть получена поворотом плоскости $Oxy$ вокруг оси $Ox$ на угол $\alpha$.

4. Любая точка, лежащая в плоскости $(ABD)$, будет иметь координаты $(x, y' \cos\alpha, y' \sin\alpha)$, где $(x, y')$ — ее координаты в системе, связанной с самой плоскостью $(ABD)$. В частности, вершина $D$ будет иметь координаты $D(x_D, y'_D \cos\alpha, y'_D \sin\alpha)$.

5. Высота тетраэдра $H$ — это расстояние от вершины $D$ до плоскости основания $(ABC)$, то есть до плоскости $Oxy$. Эта высота равна модулю аппликаты ($z$-координаты) точки $D$.$H = |y'_D \sin\alpha| = |y'_D| \cdot |\sin\alpha|$. Поскольку $\alpha$ — угол между плоскостями, можно считать $0 \le \alpha \le \pi$, поэтому $\sin\alpha \ge 0$.$H = |y'_D| \sin\alpha$.

6. Величина $|y'_D|$ представляет собой расстояние от точки $D$ до оси вращения $Ox$ (ребра $AB$) в плоскости $(ABD)$. Это не что иное, как высота $h_D$ треугольника $\triangle ABD$, проведенная из вершины $D$ к стороне $AB$.

7. Площадь грани $\triangle ABD$ равна $S_2 = \frac{1}{2} |AB| \cdot h_D = \frac{1}{2} a h_D$. Отсюда выразим высоту $h_D$: $h_D = |y'_D| = \frac{2S_2}{a}$.

8. Теперь подставим выражение для $h_D$ в формулу для высоты тетраэдра $H$:$H = h_D \sin\alpha = \frac{2S_2}{a} \sin\alpha$.

9. Наконец, подставим найденную высоту $H$ в формулу для объема тетраэдра:$V = \frac{1}{3} S_1 H = \frac{1}{3} S_1 \left( \frac{2S_2 \sin\alpha}{a} \right) = \frac{2S_1S_2 \sin\alpha}{3a}$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказано, что объем тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{2S_1S_2 \sin \alpha}{3a}$.