Номер 19.39, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.39. Основания усечённой пирамиды — правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$, $a > b$. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна основаниям, а две другие образуют с большим основанием угол $\alpha$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Для нахождения объёма усечённой пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3}H(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$,

где $H$ — высота усечённой пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ — площади её оснований.

1. Найдём площади оснований.

Основаниями являются правильные треугольники со сторонами $a$ и $b$. Площадь правильного треугольника со стороной $x$ равна $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь большего основания:

$S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь меньшего основания:

$S_2 = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдём высоту усечённой пирамиды H.

Рассмотрим полную пирамиду, из которой получена усечённая. Пусть $S$ — её вершина, а $ABC$ — большее основание со стороной $a$.

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна основаниям. Пусть это грань $SBC$. Это означает, что высота полной пирамиды $SO$, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$, лежит в плоскости грани $SBC$. Следовательно, основание высоты $O$ лежит на прямой $BC$.

Две другие боковые грани, $SAB$ и $SAC$, образуют с плоскостью основания равные углы $\alpha$. Двугранный угол между боковой гранью и основанием измеряется линейным углом, построенным в плоскости, перпендикулярной их общему ребру. Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды $SO$ к расстоянию от точки $O$ до соответствующей стороны основания. Таким образом:

$\tan\alpha = \frac{SO}{d(O, AB)} = \frac{SO}{d(O, AC)}$

Отсюда следует, что $d(O, AB) = d(O, AC)$, то есть точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Геометрическим местом таких точек является биссектриса угла $BAC$.

Поскольку треугольник $ABC$ правильный, его биссектриса, проведённая из вершины $A$, является также медианой и высотой $AM$.

Таким образом, точка $O$ должна лежать как на прямой $BC$, так и на прямой $AM$. Их единственная точка пересечения — это точка $M$, середина стороны $BC$. Итак, высота полной пирамиды есть отрезок $SM$.

Теперь найдём длину высоты полной пирамиды $h_a = SM$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $SMK$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на сторону $AB$. Угол $\angle SKM$ является линейным углом двугранного угла между гранью $SAB$ и основанием $ABC$, поэтому $\angle SKM = \alpha$.

Длина отрезка $MK$ — это расстояние от середины стороны $BC$ до стороны $AB$. В правильном треугольнике $ABC$ проведём высоту $CL$ на сторону $AB$. Её длина $CL = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В треугольнике $BCL$ отрезок $MK$ параллелен $CL$ и соединяет середину стороны $BC$ (точку M) со стороной $BL$. Таким образом, $MK$ является средней линией треугольника $BCL$ относительно основания $CL$. Следовательно:

$MK = \frac{1}{2}CL = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Из прямоугольного треугольника $SMK$ находим высоту полной пирамиды:

$h_a = SM = MK \cdot \tan\alpha = \frac{a\sqrt{3}}{4}\tan\alpha$

Высота усечённой пирамиды $H$ — это разность высот полной пирамиды ($h_a$) и малой (отсечённой) пирамиды ($h_b$). Малая и полная пирамиды подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{b}{a}$. Отношение их высот равно коэффициенту подобия:

$\frac{h_b}{h_a} = \frac{b}{a} \implies h_b = h_a \frac{b}{a}$

$H = h_a - h_b = h_a - h_a\frac{b}{a} = h_a\left(1-\frac{b}{a}\right) = h_a\frac{a-b}{a}$

Подставим найденное значение $h_a$:

$H = \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\tan\alpha\right) \cdot \frac{a-b}{a} = \frac{(a-b)\sqrt{3}}{4}\tan\alpha$

3. Вычислим объём усечённой пирамиды.

Подставим найденные значения $H$, $S_1$ и $S_2$ в формулу объёма.

Сначала вычислим выражение в скобках:

$S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+ab+b^2)$

Теперь вычислим объём:

$V = \frac{1}{3} \cdot H \cdot (S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{(a-b)\sqrt{3}}{4}\tan\alpha\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+ab+b^2)\right)$

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{(a-b) \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot (a^2+ab+b^2)}{16} \tan\alpha = \frac{1}{3} \cdot \frac{3(a-b)(a^2+ab+b^2)}{16} \tan\alpha$

Используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, получаем окончательный результат:

$V = \frac{a^3-b^3}{16}\tan\alpha$

Ответ: $V = \frac{a^3-b^3}{16}\tan\alpha$