Номер 19.42, страница 185 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.42. Ребро $AA_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $d$. Площади граней $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$. Угол между этими гранями равен $\alpha$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём $V$ параллелепипеда можно вычислить как произведение площади его прямого сечения $S_{\perp}$ на длину бокового ребра $l$. В данном случае боковое ребро — это $AA_1$, и его длина по условию равна $d$. Таким образом, формула для объёма имеет вид:

$V = S_{\perp} \cdot d$

Прямое сечение — это сечение параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной боковому ребру $AA_1$. Такое сечение представляет собой параллелограмм. Найдём его площадь.

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Это параллелограмм, площадь которого равна $S_1$. Площадь параллелограмма можно выразить как произведение его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Если взять ребро $AA_1$ в качестве стороны, то его длина равна $d$. Пусть $h_1$ — высота параллелограмма $ABB_1A_1$, проведённая к стороне $AA_1$. Тогда:

$S_1 = d \cdot h_1$

Отсюда можем выразить $h_1$:

$h_1 = \frac{S_1}{d}$

Аналогично рассмотрим грань $ADD_1A_1$, площадь которой равна $S_2$. Пусть $h_2$ — высота этого параллелограмма, проведённая к стороне $AA_1$. Тогда:

$S_2 = d \cdot h_2$

Отсюда выразим $h_2$:

$h_2 = \frac{S_2}{d}$

Длины $h_1$ и $h_2$ являются длинами сторон параллелограмма, который образует прямое сечение. Угол между этими сторонами равен двугранному углу между гранями $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$, так как высоты $h_1$ и $h_2$ по определению лежат в плоскостях этих граней и перпендикулярны их общему ребру $AA_1$. По условию задачи, этот угол равен $\alpha$.

Площадь прямого сечения $S_{\perp}$ (которое является параллелограммом со сторонами $h_1$, $h_2$ и углом $\alpha$ между ними) вычисляется по формуле:

$S_{\perp} = h_1 \cdot h_2 \cdot \sin(\alpha)$

Подставим найденные ранее выражения для $h_1$ и $h_2$:

$S_{\perp} = \frac{S_1}{d} \cdot \frac{S_2}{d} \cdot \sin(\alpha) = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d^2}$

Наконец, найдём объём параллелепипеда, подставив площадь прямого сечения в исходную формулу:

$V = S_{\perp} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d^2} \cdot d = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d}$

Ответ: $V = \frac{S_1 S_2 \sin(\alpha)}{d}$.