Номер 19.35, страница 184 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.35. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при основании. Боковая грань пирамиды, содержащая основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости этого треугольника, а две другие грани наклонены к ней под углом $\beta$. Найдите объём пирамиды.

Для нахождения объёма пирамиды воспользуемся формулой $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды. Решение задачи можно разбить на три этапа: нахождение площади основания, нахождение высоты и вычисление объёма.

1. Нахождение площади основания пирамиды

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник. Обозначим его $ABC$, где $AB = AC = a$ — боковые стороны, а $\angle ABC = \angle ACB = \alpha$ — углы при основании $BC$.

Угол при вершине $A$ равен $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha = \pi - 2\alpha$.

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} a \cdot a \cdot \sin(\pi - 2\alpha)$.

Так как $\sin(\pi - x) = \sin(x)$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды. По условию, боковая грань $(SBC)$, содержащая основание $BC$ равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Высота пирамиды $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость $(ABC)$. Поскольку плоскости $(SBC)$ и $(ABC)$ перпендикулярны, высота пирамиды должна лежать в плоскости $(SBC)$ и её основание (точка $M$) будет лежать на линии их пересечения, то есть на стороне $BC$. Таким образом, высота пирамиды $H = SM$, где $SM \perp BC$.

Две другие грани, $(SAB)$ и $(SAC)$, наклонены к плоскости основания под одинаковым углом $\beta$. Это означает, что основание высоты пирамиды, точка $M$, равноудалена от сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины $A$, является также медианой и высотой к основанию $BC$. Значит, точка $M$ — это середина стороны $BC$, а $AM$ — высота треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ ($\angle AMC = 90^\circ$). В нём $AC = a$ и $\angle ACM = \alpha$. Отсюда находим катет $MC$: $MC = a \cos(\alpha)$.

Угол $\beta$ — это угол между гранью $(SAC)$ и основанием $(ABC)$. Для его построения проведем из точки $M$ перпендикуляр $MK$ к стороне $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SK$ также будет перпендикулярна $AC$. Тогда $\angle SKM$ — это искомый линейный угол двугранного угла, и $\angle SKM = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MKC$ ($\angle MKC = 90^\circ$). В нём $MC = a \cos\alpha$ и $\angle KCM = \alpha$. Найдём катет $MK$:

$MK = MC \cdot \sin(\angle KCM) = (a \cos\alpha) \cdot \sin\alpha = a \sin\alpha \cos\alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SMK$ ($\angle SMK = 90^\circ$), в котором катет $SM$ является высотой пирамиды $H$. Из определения тангенса:

$\tan\beta = \frac{SM}{MK} \Rightarrow H = SM = MK \cdot \tan\beta$.

Подставим найденное выражение для $MK$:

$H = (a \sin\alpha \cos\alpha) \cdot \tan\beta$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получим:

$H = \frac{a}{2} \sin(2\alpha) \tan\beta$.

3. Вычисление объёма пирамиды

Подставим выражения для площади основания $S_{осн}$ и высоты $H$ в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} a^2 \sin(2\alpha)\right) \cdot \left(\frac{a}{2} \sin(2\alpha) \tan\beta\right)$.

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{a^3 \sin^2(2\alpha) \tan\beta}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{12} a^3 \sin^2(2\alpha) \tan\beta$.

Ответ: $V = \frac{1}{12} a^3 \sin^2(2\alpha) \tan\beta$.