Номер 19.54, страница 186 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.54. Ребро $SA$ четырёхугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярно плоскости основания и равно 6 см. Основанием пирамиды является квадрат $ABCD$, сторона которого равна 8 см. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AD$ и $CD$ соответственно. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду $SDMN$.

Для нахождения радиуса $r$ сферы, вписанной в пирамиду, воспользуемся формулой $r = \frac{3V}{S_{full}}$, где $V$ — объём пирамиды, а $S_{full}$ — площадь её полной поверхности.

Рассмотрим пирамиду $SDMN$. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, осью $Ox$ вдоль ребра $AB$ и осью $Oy$ вдоль ребра $AD$. Тогда ось $Oz$ будет направлена вдоль ребра $AS$.

Координаты вершин исходной пирамиды $SABCD$:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(8, 0, 0)$
• $D(0, 8, 0)$
• $C(8, 8, 0)$
• $S(0, 0, 6)$

Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AD$ и $CD$ соответственно. Найдём их координаты:

• $M = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 4, 0)$
• $N = (\frac{8+0}{2}, \frac{8+8}{2}, \frac{0+0}{2}) = (4, 8, 0)$

Таким образом, вершинами пирамиды $SDMN$ являются точки $S(0, 0, 6)$, $D(0, 8, 0)$, $M(0, 4, 0)$ и $N(4, 8, 0)$.

1. Вычисление объёма пирамиды SDMN.

Основанием пирамиды $SDMN$ является треугольник $DMN$, который лежит в плоскости $z=0$. Найдём его площадь. В плоскости $xy$ его вершины имеют координаты $D(0, 8)$, $M(0, 4)$, $N(4, 8)$. Катеты этого прямоугольного треугольника — отрезки $DM$ и $DN$.

$DM = \sqrt{(0-0)^2 + (4-8)^2} = 4$

$DN = \sqrt{(4-0)^2 + (8-8)^2} = 4$

Площадь основания $S_{DMN} = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см².

Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины $S$ на плоскость основания $DMN$. Так как плоскость $DMN$ совпадает с плоскостью $z=0$, а координата $z$ точки $S$ равна 6, то высота пирамиды $h=SA=6$ см.

Объём пирамиды $V_{SDMN} = \frac{1}{3} S_{DMN} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 6 = 16$ см³.

2. Вычисление площади полной поверхности пирамиды SDMN.

$S_{full} = S_{DMN} + S_{SDM} + S_{SDN} + S_{SMN}$.

Площадь основания $S_{DMN} = 8$ см².

Найдём площади боковых граней:

а) Грань $SDM$. Вершины $S(0,0,6)$, $D(0,8,0)$, $M(0,4,0)$ лежат в плоскости $x=0$ (плоскость $SAD$). Так как $SA \perp AD$, то площадь треугольника $SDM$ можно найти как разность площадей прямоугольных треугольников $SAD$ и $SAM$.

$S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

$S_{SAM} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

$S_{SDM} = S_{SAD} - S_{SAM} = 24 - 12 = 12$ см².

б) Грань $SDN$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $SA \perp (ABC)$, $SD$ — наклонная, $AD$ — её проекция, и $AD \perp DN$ (так как $AD \perp CD$), то и $SD \perp DN$. Значит, треугольник $SDN$ — прямоугольный.

Найдём длины катетов. $DN = \frac{1}{2}CD = 4$ см. $SD$ — гипотенуза в прямоугольном треугольнике $SAD$, $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ см.

$S_{SDN} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20$ см².

в) Грань $SMN$. Найдём площади проекций треугольника $SMN$ на координатные плоскости.

Проекция на плоскость $xy$ ($z=0$) — это треугольник $AMN$ с вершинами $A(0,0)$, $M(0,4)$, $N(4,8)$. Его площадь $S_{xy} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot (\text{x-координата N}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Проекция на плоскость $yz$ ($x=0$) — треугольник с вершинами $(0,6)$, $(4,0)$, $(8,0)$. Его площадь $S_{yz} = \frac{1}{2} \cdot (8-4) \cdot 6 = 12$.

Проекция на плоскость $xz$ ($y=0$) — треугольник с вершинами $(0,6)$, $(0,0)$, $(4,0)$. Его площадь $S_{xz} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$.

Площадь грани $SMN$ вычисляется по формуле: $S_{SMN} = \sqrt{S_{xy}^2 + S_{yz}^2 + S_{xz}^2} = \sqrt{8^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144 + 144} = \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22}$ см².

Теперь найдём полную площадь поверхности:

$S_{full} = 8 + 12 + 20 + 4\sqrt{22} = 40 + 4\sqrt{22}$ см².

3. Вычисление радиуса вписанной сферы.

$r = \frac{3V}{S_{full}} = \frac{3 \cdot 16}{40 + 4\sqrt{22}} = \frac{48}{4(10 + \sqrt{22})} = \frac{12}{10 + \sqrt{22}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$r = \frac{12(10 - \sqrt{22})}{(10 + \sqrt{22})(10 - \sqrt{22})} = \frac{12(10 - \sqrt{22})}{100 - 22} = \frac{12(10 - \sqrt{22})}{78} = \frac{2(10 - \sqrt{22})}{13}$.

Ответ: $\frac{2(10 - \sqrt{22})}{13}$ см.