Номер 19.58, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.58. Основанием тетраэдра $DABC$ является равносторонний треугольник $ABC$, сторона которого равна $\sqrt{6}$ см. Ребро $AD$ равно $3\sqrt{3}$ см. Боковые грани тетраэдра являются равновеликими треугольниками. Найдите объём тетраэдра.

Объём тетраэдра вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота тетраэдра.

Сначала найдём площадь основания. Основание тетраэдра — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = \sqrt{6}$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Подставим значение стороны:$S_{ABC} = \frac{(\sqrt{6})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ см².

Далее найдём высоту тетраэдра $H$. Пусть $DO$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$. Точка $O$ — проекция вершины $D$ на плоскость $(ABC)$. По условию, боковые грани тетраэдра ($DAB$, $DAC$ и $DBC$) являются равновеликими, то есть их площади равны. Основаниями этих боковых граней являются стороны треугольника $ABC$, которые равны между собой ($AB = AC = BC = \sqrt{6}$ см). Из равенства площадей и оснований следует, что высоты боковых граней, проведённые из общей вершины $D$, также равны. Это означает, что точка $O$ (основание высоты тетраэдра) равноудалена от сторон треугольника $ABC$. Следовательно, точка $O$ является центром вписанной окружности. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Таким образом, $O$ — центр треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADO$. Его катеты — это высота тетраэдра $DO=H$ и отрезок $AO$, а гипотенуза — ребро $AD$. Отрезок $AO$ является радиусом $R$ описанной около треугольника $ABC$ окружности. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.$AO = R = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$ см. По теореме Пифагора $AD^2 = AO^2 + DO^2$. Длина ребра $AD$ дана по условию и равна $3\sqrt{3}$ см. Выразим высоту $H = DO$:$H^2 = DO^2 = AD^2 - AO^2 = (3\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 3) - 2 = 27 - 2 = 25$.$H = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь мы можем вычислить объём тетраэдра:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см³.