Номер 19.60, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.60. Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$. По условию, высоты равны 8 см и 12 см. Пусть $h_1 = 8$ см и $h_2 = 12$ см. Угол между высотами, проведенными из одной вершины, равен $\gamma = 60°$.

Острый угол параллелограмма $\alpha$ связан с углом между высотами $\gamma$, проведенными из вершины тупого угла, соотношением $\alpha = \gamma$. Если высоты проведены из вершины острого угла, то $\alpha + \gamma = 180°$. В задаче обычно подразумевается, что угол между высотами равен острому углу параллелограмма. Таким образом, принимаем, что острый угол параллелограмма $\alpha = 60°$.

Площадь параллелограмма $S$ можно выразить через его стороны, высоты и угол:$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной $a$ (как гипотенузой), высотой $h_b$ (как катетом), проведенной к стороне $b$, и углом $\alpha$. Из определения синуса:$\sin(\alpha) = \frac{h_b}{a} \Rightarrow a = \frac{h_b}{\sin(\alpha)}$

Аналогично, для другого прямоугольного треугольника со стороной $b$ (гипотенузой) и высотой $h_a$:$\sin(\alpha) = \frac{h_a}{b} \Rightarrow b = \frac{h_a}{\sin(\alpha)}$

Подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу площади $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$:$S = \left( \frac{h_b}{\sin(\alpha)} \right) \cdot \left( \frac{h_a}{\sin(\alpha)} \right) \cdot \sin(\alpha) = \frac{h_a \cdot h_b}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим известные значения: $h_a \cdot h_b = 8 \cdot 12 = 96$ см$^2$ и $\alpha = 60°$.$S = \frac{8 \cdot 12}{\sin(60°)} = \frac{96}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$S = \frac{96 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{192}{\sqrt{3}}$

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$S = \frac{192 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{192\sqrt{3}}{3} = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.