Номер 19.3, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.3. Объём призмы $ABCA_1B_1C_1$, изображённой на рисунке 19.10, равен $V$. Точка $D$ — середина ребра $AA_1$. Найдите объём пирамиды $DABC$.

Рис. 19.10

Объём призмы $ABCA_1B_1C_1$ вычисляется по формуле $V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}} \cdot H$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $H$ — высота. В качестве основания призмы возьмём треугольник $ABC$. Тогда площадь основания $S_{\text{осн}} = S_{ABC}$. Высота призмы $H$ — это расстояние между плоскостями оснований $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. По условию задачи, объём призмы равен $V$, следовательно, $V = S_{ABC} \cdot H$.

Объём пирамиды $DABC$ вычисляется по формуле $V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания пирамиды, а $h$ — её высота. Основанием пирамиды $DABC$ является тот же треугольник $ABC$, что и у призмы, поэтому площадь её основания также равна $S_{ABC}$. Высотой пирамиды $h$ является перпендикуляр, опущенный из её вершины $D$ на плоскость основания $(ABC)$.

Поскольку точка $D$ — середина ребра $AA_1$, расстояние от точки $D$ до плоскости $(ABC)$ равно половине расстояния от точки $A_1$ до плоскости $(ABC)$. Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $(ABC)$ является высотой призмы $H$. Таким образом, высота пирамиды $h$ равна половине высоты призмы $H$: $h = \frac{1}{2}H$.

Подставим полученные данные в формулу для объёма пирамиды: $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot \left(\frac{1}{2}H\right) = \frac{1}{6} (S_{ABC} \cdot H)$.

Так как мы знаем, что $V = S_{ABC} \cdot H$, то можем выразить объём пирамиды через объём призмы $V$: $V_{DABC} = \frac{1}{6}V$.

Ответ: $\frac{V}{6}$