Номер 18.33, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.33. Основанием наклонной призмы является квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а площадь каждой из двух других граней равна $36 \text{ см}^2$. Боковые рёбра призмы равны рёбрам основания и образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Пусть $a$ — сторона квадрата в основании призмы, $l$ — длина бокового ребра, $H$ — высота призмы.

По условию задачи, боковые рёбра призмы равны рёбрам основания, следовательно, $l = a$.

Объём призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основание призмы — квадрат, поэтому его площадь $S_{осн} = a^2$.

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l$ и этим углом соотношением:

$H = l \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Подставив выражения для площади основания и высоты в формулу объёма, получим:

$V = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.

Для вычисления объёма необходимо найти длину стороны основания $a$. Для этого воспользуемся остальными условиями задачи.

Условие о том, что две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, в случае наклонной призмы означает, что проекция верхнего основания на плоскость нижнего сдвинута в направлении, параллельном одной из сторон основания. Пусть основание $ABCD$ — это квадрат. Если призма "сдвинута" вдоль направления стороны $AD$, то грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ будут перпендикулярны плоскости основания. Две другие грани, $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$, будут наклонными параллелограммами. По условию, площадь каждой из этих двух граней равна 36 см².

Найдём площадь наклонной грани, например, $ADD_1A_1$. Эта грань является параллелограммом, стороны которого равны ребру основания $AD$ (длиной $a$) и боковому ребру $A_1A$ (длиной $l = a$). Площадь параллелограмма можно найти через модуль векторного произведения векторов, на которых он построен.

Введём систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, вершина $D$ — на оси $y$ в точке $(0,a,0)$, а вершина $B$ — на оси $x$ в точке $(a,0,0)$. Тогда вектор $\vec{AD} = (0, a, 0)$.

Так как грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна основанию, то проекция бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания должна быть перпендикулярна стороне $AB$. То есть, проекция ребра $AA_1$ будет направлена вдоль оси $y$ (вдоль $AD$).

Длина проекции бокового ребра на плоскость основания равна $p = l \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Высота призмы (проекция бокового ребра на ось $z$) равна $H = l \cdot \sin(30^\circ) = \frac{a}{2}$.

Таким образом, вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$ имеет координаты $(0, a\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$.

Площадь грани $ADD_1A_1$ равна модулю векторного произведения $\vec{AD} \times \vec{AA_1}$:

$S_{ADD_1A_1} = |\vec{AD} \times \vec{AA_1}| = |(0, a, 0) \times (0, a\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})|$.

Вычислим векторное произведение:

$\vec{AD} \times \vec{AA_1} = (a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \cdot 0 - 0 \cdot \frac{a}{2}, 0 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} - a \cdot 0) = (\frac{a^2}{2}, 0, 0)$.

Модуль этого вектора равен:

$S_{ADD_1A_1} = \sqrt{(\frac{a^2}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{a^2}{2}$.

По условию, площадь этой грани равна 36 см². Значит:

$\frac{a^2}{2} = 36$

$a^2 = 72$.

Теперь мы можем найти объём призмы. Подставим значение $a^2=72$ и $a=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ в формулу объёма:

$V = \frac{a^3}{2} = \frac{a^2 \cdot a}{2} = \frac{72 \cdot 6\sqrt{2}}{2} = 36 \cdot 6\sqrt{2} = 216\sqrt{2}$ см³.

Проверим другое возможное толкование геометрии. Если призма сдвинута вдоль оси $x$ (перпендикулярно $AD$), то $\vec{AA_1} = (a\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{a}{2})$. Тогда $S_{ADD_1A_1} = |\vec{AD} \times \vec{AA_1}| = |(0, a, 0) \times (a\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{a}{2})|$.$\vec{AD} \times \vec{AA_1} = (a \cdot \frac{a}{2} - 0, 0, -a \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{a^2}{2}, 0, -\frac{a^2\sqrt{3}}{2})$. Модуль: $S = \sqrt{(\frac{a^2}{2})^2 + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{a^4} = a^2$. При таком толковании $a^2 = 36$, $a = 6$.$V = \frac{a^3}{2} = \frac{6^3}{2} = \frac{216}{2} = 108$ см³.

Второе толкование является стандартным для таких задач. Оно предполагает, что перпендикулярными основанию являются грани, "по бокам" от направления наклона, а не "передняя" и "задняя".

Итак, принимаем $a=6$ см.

Находим объём призмы:

$V = \frac{a^3}{2} = \frac{6^3}{2} = \frac{216}{2} = 108$ см³.

Ответ: $108$ см³.