Номер 18.32, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.32. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 3 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с диагональю 4 см. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный треугольник со стороной $a = 3$ см. Найдём его площадь по формуле площади равностороннего треугольника:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом. Сторона ромба, которая также является стороной основания, равна 3 см. Следовательно, все стороны этого ромба равны 3 см, и боковое ребро призмы $l$ также равно 3 см.

Так как плоскость этой грани-ромба перпендикулярна плоскости основания, то высота призмы $H$ совпадает с высотой этого ромба. Найдём высоту ромба со стороной $l = 3$ см и диагональю $d_1 = 4$ см.

Сначала найдём вторую диагональ ромба $d_2$, используя свойство, связывающее стороны и диагонали ромба: $d_1^2 + d_2^2 = 4l^2$.
$4^2 + d_2^2 = 4 \cdot 3^2$
$16 + d_2^2 = 36$
$d_2^2 = 20$
$d_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь, зная обе диагонали, можем найти площадь ромба:$S_{ромба} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см².

Площадь ромба также можно выразить через произведение его стороны на высоту: $S_{ромба} = l \cdot H$.$4\sqrt{5} = 3 \cdot H$
Отсюда находим высоту призмы:$H = \frac{4\sqrt{5}}{3}$ см.

Наконец, вычислим объём призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты в исходную формулу:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3}$
$V = \frac{9 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{4 \cdot 3} = 3\sqrt{15}$ см³.

Ответ: $3\sqrt{15}$ см³.