Номер 18.25, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.25. Через вершины $A$, $C$ и $B_1$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол $45^\circ$. Расстояние от точки $B$ до проведённой плоскости равно $3\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

Пусть дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Обозначим сторону основания за $a$, а высоту призмы за $h = BB_1$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Нахождение связи между высотой призмы и стороной основания

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C$ и $B_1$. Линией пересечения этой плоскости и плоскости основания $ABC$ является прямая $AC$. Угол между плоскостью сечения $(ACB_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол, который по условию равен $45^\circ$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к общей прямой $AC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$.

• В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является также и высотой, следовательно, $BM \perp AC$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Треугольник $ACB_1$ является равнобедренным, так как $AB_1 = CB_1$ (как диагонали равных боковых граней-прямоугольников). Следовательно, медиана $B_1M$ также является высотой, то есть $B_1M \perp AC$.

Таким образом, линейным углом двугранного угла является угол $\angle BMB_1$. По условию $\angle BMB_1 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BMB_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, значит $BB_1 \perp BM$. Следовательно, $\triangle BMB_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B$.

В этом треугольнике катеты $BB_1=h$ и $BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тангенс угла $\angle BMB_1$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle BMB_1) = \frac{BB_1}{BM}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то:

$1 = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Нахождение высоты призмы и стороны основания

Расстояние от точки $B$ до плоскости $(ACB_1)$ по условию равно $3\sqrt{2}$ см. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $(ACB_1)$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BMB_1)$ (поскольку $AC \perp BM$ и $AC \perp B_1M$), то плоскость $(ACB_1)$, проходящая через $AC$, также перпендикулярна плоскости $(BMB_1)$. Перпендикуляр из точки $B$ (которая лежит в плоскости $BMB_1$) на плоскость $(ACB_1)$ будет лежать в плоскости $(BMB_1)$ и будет являться высотой треугольника $BMB_1$, проведенной из вершины $B$ к стороне $B_1M$.

В прямоугольном треугольнике $BMB_1$ угол $\angle BMB_1 = 45^\circ$, значит, он является равнобедренным, и $BB_1 = BM = h$.

Расстояние $d$ от точки $B$ до гипотенузы $B_1M$ в этом треугольнике можно найти по формуле $d = BB_1 \cdot \cos(\angle BMB_1)$ или $d = BM \cdot \sin(\angle BMB_1)$.

$d = h \cdot \sin(45^\circ) = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим известное значение расстояния $d = 3\sqrt{2}$ см:

$3\sqrt{2} = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда находим высоту призмы $h$:

$h = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Теперь, используя найденное соотношение, найдем сторону основания $a$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies 6 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема призмы

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$.

Площадь основания (равностороннего треугольника $ABC$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 4\sqrt{3}$ см:

$S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объем призмы, зная $S_{осн}$ и $h = 6$ см:

$V = S_{осн} \cdot h = 12\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см$^3$.