Номер 18.19, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.19. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна $S$. Площади диагональных сечений параллелепипеда равны $S_1$ и $S_2$. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб. Обозначим высоту параллелепипеда как $h$, а диагонали ромба в основании как $d_1$ и $d_2$.

По условию, площадь основания (ромба) равна $S$. Площадь ромба выражается через его диагонали по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Диагональные сечения прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Их стороны — это диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота параллелепипеда $h$. Площади этих сечений, по условию, равны $S_1$ и $S_2$. Таким образом, мы можем записать:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Объём $V$ параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
$V = S \cdot h$

Чтобы найти объём, необходимо выразить высоту $h$ через заданные площади $S$, $S_1$ и $S_2$. Для этого из выражений для площадей диагональных сечений выразим $d_1$ и $d_2$:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Подставим полученные выражения в формулу для площади ромба:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{S_1}{h}\right) \cdot \left(\frac{S_2}{h}\right) = \frac{S_1 S_2}{2h^2}$

Из этого равенства найдём $h^2$:
$2Sh^2 = S_1 S_2 \implies h^2 = \frac{S_1 S_2}{2S}$

Тогда высота $h$ равна:
$h = \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Теперь можно вычислить объём параллелепипеда, подставив найденное выражение для $h$ в формулу объёма:
$V = S \cdot h = S \cdot \sqrt{\frac{S_1 S_2}{2S}}$

Упростим полученное выражение, внеся множитель $S$ под знак корня (предварительно возведя его в квадрат):
$V = \sqrt{S^2 \cdot \frac{S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S^2 S_1 S_2}{2S}} = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}}$

Ответ: $V = \sqrt{\frac{S S_1 S_2}{2}}$