Номер 18.14, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.14. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $d$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а с плоскостью боковой грани – угол $\beta$. Найдите объём призмы.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (призмы) как $a, b, c$. Его объём $V$ равен произведению этих измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

Пусть $c$ — высота параллелепипеда. Диагональ $d$, её проекция на основание и высота $c$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю $d$ и её проекцией на плоскость основания по условию равен $\alpha$. В этом треугольнике высота $c$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем выразить $c$ через $d$ и $\alpha$:
$c = d \sin(\alpha)$

Теперь рассмотрим угол $\beta$ между диагональю $d$ и плоскостью боковой грани. Пусть эта грань имеет размеры $b$ и $c$. Тогда ребро $a$ перпендикулярно этой грани. Диагональ $d$, её проекция на эту боковую грань и ребро $a$ образуют другой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике ребро $a$ является катетом, противолежащим углу $\beta$. Следовательно:
$a = d \sin(\beta)$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Мы уже нашли выражения для $a$ и $c$, подставим их в эту формулу, чтобы найти $b$:
$d^2 = (d \sin(\beta))^2 + b^2 + (d \sin(\alpha))^2$
$d^2 = d^2 \sin^2(\beta) + b^2 + d^2 \sin^2(\alpha)$
$b^2 = d^2 - d^2 \sin^2(\alpha) - d^2 \sin^2(\beta)$
$b^2 = d^2(1 - \sin^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)$, получаем:
$b^2 = d^2(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta))$
Откуда $b = d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$.

Теперь, имея выражения для всех трех измерений, мы можем найти объем призмы:
$V = a \cdot b \cdot c = (d \sin(\beta)) \cdot (d \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}) \cdot (d \sin(\alpha))$
$V = d^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$

Ответ: $V = d^3 \sin(\alpha) \sin(\beta) \sqrt{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\beta)}$.