Номер 18.17, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.17. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$. Известно, что $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $AB = c$. Плоскость $A_1BC$ образует с плоскостью основания призмы угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Найдём эти величины.

Основанием призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$, гипотенузой $AB = c$ и углом $\angle ABC = \beta$. Найдём катеты этого треугольника с помощью тригонометрических соотношений:

$AC = AB \cdot \sin(\angle ABC) = c \sin\beta$

$BC = AB \cdot \cos(\angle ABC) = c \cos\beta$

Площадь основания призмы $S_{осн}$ равна площади треугольника $ABC$ и вычисляется как половина произведения катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} (c \sin\beta)(c \cos\beta) = \frac{1}{2} c^2 \sin\beta \cos\beta$.

Высота прямой призмы $H$ равна её боковому ребру, то есть $H = AA_1$. Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $A_1BC$ и плоскостью основания $ABC$ является двугранным углом при ребре $BC$. Для определения его линейного угла воспользуемся тем, что в основании катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).

Так как призма прямая, её боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AC$ является проекцией наклонной $A_1C$ на эту плоскость. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна прямой на плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($A_1C$) перпендикулярна этой прямой. Отсюда следует, что $A_1C \perp BC$.

Таким образом, угол между прямыми $AC$ и $A_1C$ является линейным углом данного двугранного угла, то есть $\angle A_1CA = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (угол $\angle A_1AC = 90^\circ$, так как $AA_1$ перпендикулярно основанию). Из него найдём высоту $H = AA_1$:

$\tan(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC} \Rightarrow \tan\alpha = \frac{H}{AC}$

Отсюда $H = AC \cdot \tan\alpha = c \sin\beta \tan\alpha$.

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \left(\frac{1}{2} c^2 \sin\beta \cos\beta\right) \cdot (c \sin\beta \tan\alpha)$

Упростив выражение, получим итоговую формулу:

$V = \frac{1}{2} c^3 \sin^2\beta \cos\beta \tan\alpha$.

Ответ: $V = \frac{1}{2} c^3 \sin^2\beta \cos\beta \tan\alpha$.