Номер 18.23, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.23. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, боковое ребро призмы равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вершина $A_1$ призмы равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, поэтому его площадь $S_{осн} = a^2$.

Для нахождения объёма необходимо определить высоту призмы $H$. Высота — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины верхнего основания, например $A_1$, на плоскость нижнего основания $ABCD$. Пусть $O$ — основание этого перпендикуляра, тогда $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Это означает, что проекция точки $A_1$ на плоскость основания $ABCD$ является центром квадрата, то есть точкой пересечения его диагоналей $O$. Действительно, если рассмотреть перпендикуляры, опущенные из точки $A_1$ на стороны квадрата, то их длины будут равны по условию. Эти перпендикуляры являются наклонными к плоскости основания. Их проекции на плоскость основания — это перпендикуляры, опущенные из точки $O$ на стороны квадрата. Так как наклонные равны, а высота $A_1O$ у них общая, то по теореме Пифагора их проекции также равны. Точка внутри квадрата, равноудаленная от всех его сторон, является его центром.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. Его гипотенузой является боковое ребро $AA_1$, а катетами — высота призмы $A_1O = H$ и отрезок $AO$, соединяющий вершину квадрата с его центром. Длина бокового ребра известна: $AA_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Длину отрезка $AO$ найдём как половину диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$, значит, $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A_1OA$ найдём высоту $H$:

$H^2 = AA_1^2 - AO^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Отсюда $H = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.

Теперь можем вычислить объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.

Ответ: $\frac{a^3}{2}$.