Номер 18.24, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.24. Через вершины $B, D$ и $C_1$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол $60^\circ$. Расстояние от точки $C$ до проведённой плоскости равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите объём призмы.

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ правильная, её основание $ABCD$ является квадратом, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону квадрата как $a$, а высоту призмы как $h = CC_1$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2 h$.

Нахождение угла между плоскостями

Плоскость сечения проходит через точки $B, D, C_1$. Линией пересечения плоскости сечения $(BDC_1)$ и плоскости основания $(ABC)$ является диагональ $BD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к их линии пересечения в одной точке.

В основании призмы лежит квадрат $ABCD$, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, отрезок $CO$ перпендикулярен линии пересечения $BD$.

Так как призма правильная, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CO$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $(ACC_1)$, то прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $(ACC_1)$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, $BD \perp C_1O$.

Таким образом, $CO \perp BD$ и $C_1O \perp BD$. Угол между плоскостями $(BDC_1)$ и $(ABC)$ равен линейному углу $\angle C_1OC$. По условию, $\angle C_1OC = 60^\circ$.

Нахождение стороны основания и высоты призмы

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1CO$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как $CC_1 \perp (ABC)$).

Расстояние от точки $C$ до плоскости $(BDC_1)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на эту плоскость. Так как $BD \perp (ACC_1)$, то плоскость $(BDC_1)$ перпендикулярна плоскости $(ACC_1)$. Линия их пересечения — $C_1O$. Следовательно, перпендикуляр из точки $C$ на плоскость $(BDC_1)$ лежит в плоскости $(ACC_1)$ и является высотой $CK$ треугольника $\triangle C_1CO$, опущенной на гипотенузу $C_1O$. По условию, $CK = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle COK$ ($\angle CKO = 90^\circ$ по построению, $\angle COK = \angle C_1OC = 60^\circ$):$sin(\angle COK) = \frac{CK}{CO}$Отсюда находим $CO$:$CO = \frac{CK}{sin(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$ см.

$CO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = 2 \cdot CO = 2 \cdot 4 = 8$ см. Сторона квадрата $a$ связана с диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдём высоту призмы $h = CC_1$ из треугольника $\triangle C_1CO$:$tg(\angle C_1OC) = \frac{CC_1}{CO}$$h = CC_1 = CO \cdot tg(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычисление объёма призмы

Площадь основания (квадрата):$S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$.

Объём призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 32 \cdot 4\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $128\sqrt{3}$ см$^3$.