Номер 18.30, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.30. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 2 см. Боковое ребро призмы равно 5 см и образует с двумя соседними сторонами основания углы по $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 2$ см. Его площадь вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив значение стороны, получим:$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Далее найдём высоту призмы. Пусть боковое ребро $l = 5$ см выходит из вершины $A$ основания и образует с двумя соседними сторонами основания $AB$ и $AC$ углы по 60°. Опустим из конца бокового ребра (вершины $A_1$) перпендикуляр $A_1O$ на плоскость основания. Длина этого перпендикуляра и есть высота призмы $H$. Отрезок $AO$ является проекцией ребра $A_1A$ на плоскость основания. Угол между ребром $A_1A$ и его проекцией $AO$ на плоскость основания обозначим $\alpha$. Тогда $H = l \cdot \sin(\alpha)$.

По свойству проекций, так как боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами $AB$ и $AC$, его проекция $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Поскольку основание — правильный треугольник, $\angle BAC = 60^\circ$, и, следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

Косинус угла между наклонной ($A_1A$) и прямой, лежащей в плоскости ($AB$), связан с углом наклона $\alpha$ и углом $\angle OAB$ соотношением: $\cos(\angle A_1AB) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\angle OAB)$. Подставим известные значения:$\cos(60^\circ) = \cos(\alpha) \cdot \cos(30^\circ)$$\frac{1}{2} = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдём $\sin(\alpha)$:$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь вычислим высоту призмы:$H = l \cdot \sin(\alpha) = 5 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, найдём объём призмы:$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{18}}{3} = \frac{5 \cdot \sqrt{9 \cdot 2}}{3} = \frac{5 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см³.