Номер 18.36, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.36. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ площадь грани $AA_1B_1B$ равна $S$, а расстояние от прямой $CC_1$ до плоскости $AA_1B_1$ равно $d$. Докажите, что объём $V$ призмы можно вычислить по формуле

$V = \frac{dS}{2}$

Для доказательства формулы объема призмы $V = \frac{dS}{2}$ воспользуемся методом разбиения призмы на более простые многогранники.

Рассмотрим треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Ее объем, который мы обозначаем $V$, можно представить как сумму объемов двух многогранников, если выбрать одну из вершин, например $C$, в качестве общей вершины. Призма $ABCA_1B_1C_1$ является объединением тетраэдра (треугольной пирамиды) $C-A_1B_1C_1$ и четырехугольной пирамиды $C-AA_1B_1B$. Так как эти два многогранника пересекаются только по общей грани (треугольнику $CA_1B_1$), объем которой равен нулю, объем призмы равен сумме их объемов:

$V = V_{C-A_1B_1C_1} + V_{C-AA_1B_1B}$

Найдем объем тетраэдра $C-A_1B_1C_1$. Его основанием является треугольник $A_1B_1C_1$, который является верхним основанием призмы. Площадь этого основания $S_{A_1B_1C_1}$ равна площади нижнего основания $S_{ABC}$. Высота тетраэдра, проведенная из вершины $C$ к плоскости основания $A_1B_1C_1$, совпадает с высотой призмы $H$. Объем призмы выражается формулой $V = S_{ABC} \cdot H$. Таким образом, объем тетраэдра равен:

$V_{C-A_1B_1C_1} = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C_1} \cdot H = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} V$

Из этого следует, что объем четырехугольной пирамиды $C-AA_1B_1B$ составляет оставшуюся часть объема призмы:

$V_{C-AA_1B_1B} = V - V_{C-A_1B_1C_1} = V - \frac{1}{3} V = \frac{2}{3} V$

Теперь вычислим объем той же пирамиды $C-AA_1B_1B$, используя данные из условия задачи. Основанием этой пирамиды является боковая грань призмы $AA_1B_1B$. По условию, ее площадь равна $S$. Высотой пирамиды является длина перпендикуляра, опущенного из ее вершины $C$ на плоскость основания $(AA_1B_1B)$.

В условии сказано, что расстояние от прямой $CC_1$ до плоскости $AA_1B_1$ равно $d$. В призме боковые ребра параллельны, поэтому $CC_1 \parallel AA_1$. Поскольку ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1B_1)$, прямая $CC_1$ параллельна всей плоскости $(AA_1B_1)$. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — это расстояние от любой точки прямой до этой плоскости. Следовательно, расстояние от вершины $C$ до плоскости $(AA_1B_1)$ равно $d$. Это расстояние и является высотой пирамиды $C-AA_1B_1B$.

Таким образом, объем этой пирамиды можно вычислить по формуле:

$V_{C-AA_1B_1B} = \frac{1}{3} \cdot (\text{Площадь основания}) \cdot (\text{Высота}) = \frac{1}{3} S \cdot d$

Теперь у нас есть два выражения для объема пирамиды $C-AA_1B_1B$. Приравняем их:

$\frac{2}{3} V = \frac{1}{3} S d$

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$, чтобы выразить $V$:

$V = \frac{1}{3} S d \cdot \frac{3}{2} = \frac{Sd}{2}$

Таким образом, мы доказали, что объем $V$ призмы можно вычислить по формуле $V = \frac{dS}{2}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Требуемое равенство $V = \frac{dS}{2}$ доказано.