Страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.33. Основанием наклонной призмы является квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а площадь каждой из двух других граней равна $36 \text{ см}^2$. Боковые рёбра призмы равны рёбрам основания и образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Пусть $a$ — сторона квадрата в основании призмы, $l$ — длина бокового ребра, $H$ — высота призмы.

По условию задачи, боковые рёбра призмы равны рёбрам основания, следовательно, $l = a$.

Объём призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основание призмы — квадрат, поэтому его площадь $S_{осн} = a^2$.

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l$ и этим углом соотношением:

$H = l \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Подставив выражения для площади основания и высоты в формулу объёма, получим:

$V = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.

Для вычисления объёма необходимо найти длину стороны основания $a$. Для этого воспользуемся остальными условиями задачи.

Условие о том, что две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, в случае наклонной призмы означает, что проекция верхнего основания на плоскость нижнего сдвинута в направлении, параллельном одной из сторон основания. Пусть основание $ABCD$ — это квадрат. Если призма "сдвинута" вдоль направления стороны $AD$, то грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ будут перпендикулярны плоскости основания. Две другие грани, $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$, будут наклонными параллелограммами. По условию, площадь каждой из этих двух граней равна 36 см².

Найдём площадь наклонной грани, например, $ADD_1A_1$. Эта грань является параллелограммом, стороны которого равны ребру основания $AD$ (длиной $a$) и боковому ребру $A_1A$ (длиной $l = a$). Площадь параллелограмма можно найти через модуль векторного произведения векторов, на которых он построен.

Введём систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, вершина $D$ — на оси $y$ в точке $(0,a,0)$, а вершина $B$ — на оси $x$ в точке $(a,0,0)$. Тогда вектор $\vec{AD} = (0, a, 0)$.

Так как грань $ABB_1A_1$ перпендикулярна основанию, то проекция бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания должна быть перпендикулярна стороне $AB$. То есть, проекция ребра $AA_1$ будет направлена вдоль оси $y$ (вдоль $AD$).

Длина проекции бокового ребра на плоскость основания равна $p = l \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Высота призмы (проекция бокового ребра на ось $z$) равна $H = l \cdot \sin(30^\circ) = \frac{a}{2}$.

Таким образом, вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$ имеет координаты $(0, a\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$.

Площадь грани $ADD_1A_1$ равна модулю векторного произведения $\vec{AD} \times \vec{AA_1}$:

$S_{ADD_1A_1} = |\vec{AD} \times \vec{AA_1}| = |(0, a, 0) \times (0, a\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})|$.

Вычислим векторное произведение:

$\vec{AD} \times \vec{AA_1} = (a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}, 0 \cdot 0 - 0 \cdot \frac{a}{2}, 0 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} - a \cdot 0) = (\frac{a^2}{2}, 0, 0)$.

Модуль этого вектора равен:

$S_{ADD_1A_1} = \sqrt{(\frac{a^2}{2})^2 + 0^2 + 0^2} = \frac{a^2}{2}$.

По условию, площадь этой грани равна 36 см². Значит:

$\frac{a^2}{2} = 36$

$a^2 = 72$.

Теперь мы можем найти объём призмы. Подставим значение $a^2=72$ и $a=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ в формулу объёма:

$V = \frac{a^3}{2} = \frac{a^2 \cdot a}{2} = \frac{72 \cdot 6\sqrt{2}}{2} = 36 \cdot 6\sqrt{2} = 216\sqrt{2}$ см³.

Проверим другое возможное толкование геометрии. Если призма сдвинута вдоль оси $x$ (перпендикулярно $AD$), то $\vec{AA_1} = (a\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{a}{2})$. Тогда $S_{ADD_1A_1} = |\vec{AD} \times \vec{AA_1}| = |(0, a, 0) \times (a\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{a}{2})|$.$\vec{AD} \times \vec{AA_1} = (a \cdot \frac{a}{2} - 0, 0, -a \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2}) = (\frac{a^2}{2}, 0, -\frac{a^2\sqrt{3}}{2})$. Модуль: $S = \sqrt{(\frac{a^2}{2})^2 + (-\frac{a^2\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{3a^4}{4}} = \sqrt{a^4} = a^2$. При таком толковании $a^2 = 36$, $a = 6$.$V = \frac{a^3}{2} = \frac{6^3}{2} = \frac{216}{2} = 108$ см³.

Второе толкование является стандартным для таких задач. Оно предполагает, что перпендикулярными основанию являются грани, "по бокам" от направления наклона, а не "передняя" и "задняя".

Итак, принимаем $a=6$ см.

Находим объём призмы:

$V = \frac{a^3}{2} = \frac{6^3}{2} = \frac{216}{2} = 108$ см³.

Ответ: $108$ см³.

18.34. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны $12 \text{ см}$ и $16 \text{ см}$, а радиус описанной окружности — $10 \text{ см}$. Боковое ребро призмы равно $20 \text{ см}$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдём высоту призмы H.

Высота призмы $H$ связана с длиной бокового ребра $l = 20$ см и углом его наклона к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$ следующим соотношением:

$$ H = l \cdot \sin\alpha = 20 \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см} $$

2. Найдём площадь основания $S_{осн}$.

Основанием является равнобокая трапеция с основаниями $a = 16$ см и $b = 12$ см. Её площадь вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Для нахождения высоты $h$ воспользуемся тем, что вокруг трапеции описана окружность радиусом $R = 10$ см.

Рассмотрим трапецию. Расстояние от центра описанной окружности до её оснований (которые являются хордами этой окружности) можно найти по теореме Пифагора. Расстояние $d_1$ от центра до большего основания $a=16$ см равно:

$$ d_1 = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ см} $$

Расстояние $d_2$ от центра до меньшего основания $b=12$ см равно:

$$ d_2 = \sqrt{R^2 - (b/2)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} $$

Высота трапеции $h$ зависит от взаимного расположения оснований и центра окружности. Возможны два случая:

Случай А: Центр окружности лежит между основаниями трапеции.

В этом случае высота трапеции равна сумме расстояний от центра до оснований:

$$ h_1 = d_1 + d_2 = 6 + 8 = 14 \text{ см} $$

Площадь основания в этом случае:

$$ S_{осн1} = \frac{a+b}{2} \cdot h_1 = \frac{16+12}{2} \cdot 14 = 14 \cdot 14 = 196 \text{ см}^2 $$

Случай Б: Оба основания лежат по одну сторону от центра окружности.

В этом случае высота трапеции равна разности расстояний от центра до оснований:

$$ h_2 = d_2 - d_1 = 8 - 6 = 2 \text{ см} $$

Площадь основания в этом случае:

$$ S_{осн2} = \frac{a+b}{2} \cdot h_2 = \frac{16+12}{2} \cdot 2 = 14 \cdot 2 = 28 \text{ см}^2 $$

3. Вычислим объём призмы V.

Поскольку условие задачи допускает обе конфигурации трапеции, существует два возможных значения объёма призмы.

Для случая А:

$$ V_1 = S_{осн1} \cdot H = 196 \cdot 10 = 1960 \text{ см}^3 $$

Для случая Б:

$$ V_2 = S_{осн2} \cdot H = 28 \cdot 10 = 280 \text{ см}^3 $$

Ответ: задача имеет два решения: $1960 \text{ см}^3$ или $280 \text{ см}^3$.

18.35. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, основание которого равно 10 см, а радиус описанной окружности — 13 см. Высота призмы равна 8 см. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. По условию, высота призмы $H = 8$ см.

Основанием призмы является равнобедренный треугольник. Обозначим его основание как $a$, боковые стороны как $b$, высоту, проведённую к основанию, как $h_a$. Площадь этого треугольника (основания призмы) равна $S_{осн} = \frac{1}{2} a h_a$.

Из условия нам известно, что $a = 10$ см, а радиус описанной окружности $R = 13$ см.

Для нахождения площади основания необходимо найти высоту треугольника $h_a$. Воспользуемся связью между радиусом описанной окружности, основанием и высотой равнобедренного треугольника. Эта связь выражается формулой:

$R = \frac{h_a^2 + (a/2)^2}{2h_a}$

Подставим известные значения $a=10$ см и $R=13$ см в эту формулу, чтобы найти $h_a$:

$13 = \frac{h_a^2 + (10/2)^2}{2h_a}$

$13 = \frac{h_a^2 + 5^2}{2h_a}$

$13 = \frac{h_a^2 + 25}{2h_a}$

Умножим обе части уравнения на $2h_a$:

$26h_a = h_a^2 + 25$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $h_a$:

$h_a^2 - 26h_a + 25 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а их произведение равно 25. Следовательно, корнями являются $h_{a1} = 1$ см и $h_{a2} = 25$ см.

Это означает, что существует два равнобедренных треугольника, удовлетворяющих заданным условиям (один тупоугольный, другой остроугольный). Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Высота треугольника в основании $h_a = 25$ см.

Тогда площадь основания призмы равна:

$S_{осн1} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 25 = 125$ см$^2$.

Объём призмы в этом случае составит:

$V_1 = S_{осн1} \cdot H = 125 \cdot 8 = 1000$ см$^3$.

Случай 2. Высота треугольника в основании $h_a = 1$ см.

Тогда площадь основания призмы равна:

$S_{осн2} = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 1 = 5$ см$^2$.

Объём призмы в этом случае составит:

$V_2 = S_{осн2} \cdot H = 5 \cdot 8 = 40$ см$^3$.

Поскольку в условии задачи нет уточнений, позволяющих исключить один из вариантов, задача имеет два решения.

Ответ: 1000 см$^3$ или 40 см$^3$.

18.36. В треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ площадь грани $AA_1B_1B$ равна $S$, а расстояние от прямой $CC_1$ до плоскости $AA_1B_1$ равно $d$. Докажите, что объём $V$ призмы можно вычислить по формуле

$V = \frac{dS}{2}$

Для доказательства формулы объема призмы $V = \frac{dS}{2}$ воспользуемся методом разбиения призмы на более простые многогранники.

Рассмотрим треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Ее объем, который мы обозначаем $V$, можно представить как сумму объемов двух многогранников, если выбрать одну из вершин, например $C$, в качестве общей вершины. Призма $ABCA_1B_1C_1$ является объединением тетраэдра (треугольной пирамиды) $C-A_1B_1C_1$ и четырехугольной пирамиды $C-AA_1B_1B$. Так как эти два многогранника пересекаются только по общей грани (треугольнику $CA_1B_1$), объем которой равен нулю, объем призмы равен сумме их объемов:

$V = V_{C-A_1B_1C_1} + V_{C-AA_1B_1B}$

Найдем объем тетраэдра $C-A_1B_1C_1$. Его основанием является треугольник $A_1B_1C_1$, который является верхним основанием призмы. Площадь этого основания $S_{A_1B_1C_1}$ равна площади нижнего основания $S_{ABC}$. Высота тетраэдра, проведенная из вершины $C$ к плоскости основания $A_1B_1C_1$, совпадает с высотой призмы $H$. Объем призмы выражается формулой $V = S_{ABC} \cdot H$. Таким образом, объем тетраэдра равен:

$V_{C-A_1B_1C_1} = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C_1} \cdot H = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H = \frac{1}{3} V$

Из этого следует, что объем четырехугольной пирамиды $C-AA_1B_1B$ составляет оставшуюся часть объема призмы:

$V_{C-AA_1B_1B} = V - V_{C-A_1B_1C_1} = V - \frac{1}{3} V = \frac{2}{3} V$

Теперь вычислим объем той же пирамиды $C-AA_1B_1B$, используя данные из условия задачи. Основанием этой пирамиды является боковая грань призмы $AA_1B_1B$. По условию, ее площадь равна $S$. Высотой пирамиды является длина перпендикуляра, опущенного из ее вершины $C$ на плоскость основания $(AA_1B_1B)$.

В условии сказано, что расстояние от прямой $CC_1$ до плоскости $AA_1B_1$ равно $d$. В призме боковые ребра параллельны, поэтому $CC_1 \parallel AA_1$. Поскольку ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1B_1)$, прямая $CC_1$ параллельна всей плоскости $(AA_1B_1)$. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — это расстояние от любой точки прямой до этой плоскости. Следовательно, расстояние от вершины $C$ до плоскости $(AA_1B_1)$ равно $d$. Это расстояние и является высотой пирамиды $C-AA_1B_1B$.

Таким образом, объем этой пирамиды можно вычислить по формуле:

$V_{C-AA_1B_1B} = \frac{1}{3} \cdot (\text{Площадь основания}) \cdot (\text{Высота}) = \frac{1}{3} S \cdot d$

Теперь у нас есть два выражения для объема пирамиды $C-AA_1B_1B$. Приравняем их:

$\frac{2}{3} V = \frac{1}{3} S d$

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$, чтобы выразить $V$:

$V = \frac{1}{3} S d \cdot \frac{3}{2} = \frac{Sd}{2}$

Таким образом, мы доказали, что объем $V$ призмы можно вычислить по формуле $V = \frac{dS}{2}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Требуемое равенство $V = \frac{dS}{2}$ доказано.

18.37. Основанием призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Площади граней $BB_1 C_1 C$ и $AA_1 D_1 D$ соответственно равны $S_1$ и $S_2$. Расстояние между плоскостями, содержащими эти грани, равно $d$. Найдите объём призмы.

Пусть $V$ - объем призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием призмы является трапеция $ABCD$, в которой стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Обозначим длины этих сторон как $BC=b$ и $AD=a$.

Площади боковых граней $BB_1C_1C$ и $AA_1D_1D$ равны $S_1$ и $S_2$ соответственно. Эти грани являются параллелограммами.

Грани $BB_1C_1C$ и $AA_1D_1D$ лежат в параллельных плоскостях. Это следует из того, что боковые ребра призмы $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны, а основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны по условию. Таким образом, плоскость $(AA_1D_1D)$, проходящая через пересекающиеся прямые $AA_1$ и $AD$, параллельна плоскости $(BB_1C_1C)$, проходящей через соответственно параллельные им прямые $BB_1$ и $BC$.

Расстояние между этими параллельными плоскостями по условию равно $d$.

Для нахождения объема призмы воспользуемся методом интегрирования (принципом Кавальери). Объем тела, заключенного между двумя параллельными плоскостями, можно найти как интеграл от площади сечения тела плоскостью, параллельной данным, по расстоянию между плоскостями.

Введем систему координат так, чтобы ось $Ox$ была перпендикулярна плоскостям граней $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$. Пусть плоскость $(AA_1D_1D)$ соответствует координате $x=0$, а плоскость $(BB_1C_1C)$ — координате $x=d$.

Рассмотрим поперечное сечение призмы плоскостью, заданной уравнением $x=c$, где $0 \le c \le d$. Объем призмы вычисляется по формуле:$V = \int_0^d A(x) dx$,где $A(x)$ — площадь сечения призмы на расстоянии $x$ от плоскости $(AA_1D_1D)$.

Сечение призмы плоскостью $x=c$ является параллелограммом. Его стороны — это отрезки, по которым секущая плоскость пересекает основания призмы ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$) и боковые грани ($ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$). Можно показать, что площадь этого сечения $A(x)$ линейно зависит от $x$.

При $x=0$ сечение совпадает с гранью $AA_1D_1D$, поэтому $A(0) = S_2$. При $x=d$ сечение совпадает с гранью $BB_1C_1C$, поэтому $A(d) = S_1$.

Так как $A(x)$ является линейной функцией от $x$, ее можно записать в виде $A(x) = kx + m$. Используя известные значения в крайних точках:$A(0) = k \cdot 0 + m = S_2 \implies m = S_2$.$A(d) = k \cdot d + S_2 = S_1 \implies k = \frac{S_1 - S_2}{d}$.

Таким образом, функция площади сечения имеет вид:$A(x) = \frac{S_1 - S_2}{d} x + S_2$.

Теперь найдем объем, вычислив интеграл:$V = \int_0^d \left( \frac{S_1 - S_2}{d} x + S_2 \right) dx$

$V = \left[ \frac{S_1 - S_2}{d} \frac{x^2}{2} + S_2 x \right]_0^d$

$V = \left( \frac{S_1 - S_2}{d} \frac{d^2}{2} + S_2 d \right) - 0$

$V = \frac{(S_1 - S_2)d}{2} + S_2 d = \frac{S_1 d - S_2 d}{2} + \frac{2 S_2 d}{2}$

$V = \frac{S_1 d + S_2 d}{2} = \frac{d(S_1 + S_2)}{2}$

Ответ: $V = \frac{d(S_1 + S_2)}{2}$

18.38. Сторона квадрата $ABCD$ равна 1 см. К плоскости квадрата проведены перпендикуляры $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$, расположенные по одну сторону от этой плоскости. Известно, что $AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1 = 10$ см. Найдите объём многогранника $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Данный многогранник $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является усеченной прямой призмой. Его основание — квадрат $ABCD$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ перпендикулярны плоскости основания. Условие $AA_1+CC_1 = BB_1+DD_1$ гарантирует, что верхние вершины $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости.

Объем такого тела можно вычислить по формуле, умножив площадь основания на среднюю высоту, которая равна среднему арифметическому длин боковых ребер: $V = S_{осн} \cdot h_{ср}$

1. Найдем площадь основания. Основанием является квадрат $ABCD$ со стороной 1 см. Его площадь равна: $S_{ABCD} = 1^2 = 1 \text{ см}^2$.

2. Найдем среднюю высоту. Средняя высота $h_{ср}$ вычисляется по формуле: $h_{ср} = \frac{AA_1 + BB_1 + CC_1 + DD_1}{4}$.

По условию задачи даны суммы длин противоположных боковых ребер: $AA_1 + CC_1 = 10$ см
$BB_1 + DD_1 = 10$ см

Сложим эти два равенства, чтобы найти сумму длин всех четырех боковых ребер: $(AA_1 + CC_1) + (BB_1 + DD_1) = 10 + 10 = 20$ см.

Теперь можем вычислить среднюю высоту: $h_{ср} = \frac{20 \text{ см}}{4} = 5$ см.

3. Найдем объём многогранника. Подставим найденные значения площади основания и средней высоты в формулу для объёма: $V = S_{ABCD} \cdot h_{ср} = 1 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 5 \text{ см}^3$.

Ответ: 5 см³.

18.39. Дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Площадь треугольника $AB_1C$ равна $S$, а расстояние от точки $A_1$ до плоскости $AB_1C$ равно $h$.

Найдите объём призмы.

Рассмотрим пирамиду (тетраэдр) $A_1AB_1C$. По условию, площадь ее основания $\triangle AB_1C$ равна $S$, а высота, опущенная из вершины $A_1$ на это основание, равна $h$. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot высота$

Следовательно, объем пирамиды $A_1AB_1C$ равен:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{3} S h$

Теперь найдем связь между объемом этой пирамиды и объемом всей призмы $V_{призмы}$. Для этого воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат находится в точке $A$. Введем векторы: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Объем призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. Таким образом, объем призмы:

$V_{призмы} = \frac{1}{2} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Объем пирамиды (тетраэдра) $A_1AB_1C$ равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов, исходящих из одной ее вершины, например, из вершины $A$. Найдем эти векторы:

• $\vec{AA_1} = \vec{c}$
• $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{AC} = \vec{b}$

Теперь вычислим объем пирамиды $A_1AB_1C$ (или, что то же самое, $A A_1 B_1 C$):

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{6} |(\vec{AA_1} \times \vec{AB_1}) \cdot \vec{AC}| = \frac{1}{6} |(\vec{c} \times (\vec{a} + \vec{c})) \cdot \vec{b}|$

Используя свойства векторного произведения (дистрибутивность и $\vec{c} \times \vec{c} = 0$), получим:

$\vec{c} \times (\vec{a} + \vec{c}) = (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a}$

Подставим это в формулу объема пирамиды:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{6} |(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}|$

Используя свойство смешанного произведения о циклической перестановке векторов $((\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})$, получаем:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Сравнивая выражения для объемов призмы и пирамиды, видим, что:

$V_{A_1AB_1C} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| \right) = \frac{1}{3} V_{призмы}$

Теперь у нас есть два выражения для объема пирамиды $A_1AB_1C$:

$\frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} V_{призмы}$

Отсюда находим объем призмы:

$V_{призмы} = S h$

Ответ: $Sh$

18.40. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны $2\sqrt{73}$ см и $4\sqrt{13}$ см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Пусть медиана, проведённая к катету $a$, равна $m_a = 4\sqrt{13}$ см, а медиана, проведённая к катету $b$, равна $m_b = 2\sqrt{73}$ см.

Медиана, проведённая к катету, образует прямоугольный треугольник, где эта медиана является гипотенузой, а катетами служат другой катет и половина того катета, к которому проведена медиана.

Для медианы $m_a$, проведённой к катету $a$, по теореме Пифагора имеем:

$m_a^2 = b^2 + (\frac{a}{2})^2$

Для медианы $m_b$, проведённой к катету $b$, по теореме Пифагора имеем:

$m_b^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$

Подставим известные значения длин медиан в эти уравнения. Сначала возведём их в квадрат:

$m_a^2 = (4\sqrt{13})^2 = 16 \cdot 13 = 208$

$m_b^2 = (2\sqrt{73})^2 = 4 \cdot 73 = 292$

Теперь составим систему уравнений:

$\begin{cases} b^2 + \frac{a^2}{4} = 208 \\ a^2 + \frac{b^2}{4} = 292 \end{cases}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим оба уравнения на 4:

$\begin{cases} 4b^2 + a^2 = 832 \\ 4a^2 + b^2 = 1168 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(4b^2 + a^2) + (4a^2 + b^2) = 832 + 1168$

$5a^2 + 5b^2 = 2000$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a^2 + b^2 = 400$

Теперь у нас есть более простая система. Например, возьмём второе уравнение из умноженной на 4 системы и новое уравнение:

$\begin{cases} 4a^2 + b^2 = 1168 \\ a^2 + b^2 = 400 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(4a^2 + b^2) - (a^2 + b^2) = 1168 - 400$

$3a^2 = 768$

$a^2 = \frac{768}{3} = 256$

$a = \sqrt{256} = 16$ см (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдём $b$, подставив значение $a^2$ в уравнение $a^2 + b^2 = 400$:

$256 + b^2 = 400$

$b^2 = 400 - 256 = 144$

$b = \sqrt{144} = 12$ см.

Таким образом, длины катетов равны 12 см и 16 см.

Ответ: 12 см и 16 см.

18.41. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 7,5$ см, $AC = 12$ см. Найдите расстояние от вершины $B$ до ортоцентра треугольника $ABC$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 7,5$ см и $AC = 12$ см. Треугольник является равнобедренным. Ортоцентр – это точка пересечения высот треугольника. Обозначим ортоцентр буквой $H$. Требуется найти расстояние от вершины $B$ до ортоцентра $H$, то есть длину отрезка $BH$.

1. Проведем высоту $BE$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $E$ – середина отрезка $AC$.$AE = EC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ (угол $E$ прямой). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BE$:$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{7,5^2 - 6^2} = \sqrt{56,25 - 36} = \sqrt{20,25} = 4,5$ см.

3. Определим тип треугольника $ABC$. Сравним квадрат большей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон:$AC^2 = 12^2 = 144$.$AB^2 + BC^2 = 7,5^2 + 7,5^2 = 56,25 + 56,25 = 112,5$. Так как $AC^2 > AB^2 + BC^2$ ($144 > 112,5$), угол $B$, лежащий против стороны $AC$, является тупым.

4. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В нашем случае, так как угол $B$ тупой, ортоцентр $H$ будет лежать на продолжении высоты $BE$ за вершину $B$. Таким образом, точка $B$ будет находиться между точками $E$ и $H$.

5. Для нахождения положения ортоцентра $H$ проведем еще одну высоту, например, высоту $AD$ из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как угол $ABC$ тупой, основание высоты $D$ будет лежать на продолжении стороны $CB$ за вершину $B$. Ортоцентр $H$ является точкой пересечения прямых $BE$ и $AD$.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $HBD$. В нем $\angle HDB = 90^\circ$. Искомое расстояние $BH$ является гипотенузой в этом треугольнике, или катетом в другом. Давайте найдем катет $BD$ и один из углов. Из треугольника $HBD$ имеем: $BH = \frac{BD}{\cos(\angle HBD)}$.

7. Найдем длину отрезка $BD$. Рассмотрим треугольник $ABD$, который является прямоугольным. Угол $\angle ABD$ является смежным с углом $\angle ABC$, поэтому $\angle ABD = 180^\circ - \angle ABC$. Найдем косинус угла $\angle ABC$ по теореме косинусов для треугольника $ABC$:$\cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{7,5^2 + 7,5^2 - 12^2}{2 \cdot 7,5 \cdot 7,5} = \frac{112,5 - 144}{112,5} = \frac{-31,5}{112,5} = -\frac{315}{1125} = -\frac{7}{25}$. Теперь найдем косинус угла $\angle ABD$:$\cos(\angle ABD) = \cos(180^\circ - \angle ABC) = -\cos(\angle ABC) = -(-\frac{7}{25}) = \frac{7}{25}$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $BD$ равен:$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 7,5 \cdot \frac{7}{25} = \frac{15}{2} \cdot \frac{7}{25} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10} = 2,1$ см.

8. Теперь найдем косинус угла $\angle HBD$. Угол $\angle HBD$ совпадает с углом $\angle EBC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EBC$:$\cos(\angle EBC) = \frac{BE}{BC} = \frac{4,5}{7,5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5}$.

9. Наконец, найдем искомое расстояние $BH$ из прямоугольного треугольника $HBD$:$BH = \frac{BD}{\cos(\angle HBD)} = \frac{BD}{\cos(\angle EBC)} = \frac{2,1}{3/5} = 2,1 \cdot \frac{5}{3} = 0,7 \cdot 5 = 3,5$ см.

Ответ: 3,5 см.