Страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.23. Основанием наклонной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, боковое ребро призмы равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вершина $A_1$ призмы равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы. Основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a$, поэтому его площадь $S_{осн} = a^2$.

Для нахождения объёма необходимо определить высоту призмы $H$. Высота — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины верхнего основания, например $A_1$, на плоскость нижнего основания $ABCD$. Пусть $O$ — основание этого перпендикуляра, тогда $H = A_1O$.

По условию, вершина $A_1$ равноудалена от сторон квадрата $ABCD$. Это означает, что проекция точки $A_1$ на плоскость основания $ABCD$ является центром квадрата, то есть точкой пересечения его диагоналей $O$. Действительно, если рассмотреть перпендикуляры, опущенные из точки $A_1$ на стороны квадрата, то их длины будут равны по условию. Эти перпендикуляры являются наклонными к плоскости основания. Их проекции на плоскость основания — это перпендикуляры, опущенные из точки $O$ на стороны квадрата. Так как наклонные равны, а высота $A_1O$ у них общая, то по теореме Пифагора их проекции также равны. Точка внутри квадрата, равноудаленная от всех его сторон, является его центром.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. Его гипотенузой является боковое ребро $AA_1$, а катетами — высота призмы $A_1O = H$ и отрезок $AO$, соединяющий вершину квадрата с его центром. Длина бокового ребра известна: $AA_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Длину отрезка $AO$ найдём как половину диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$, значит, $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A_1OA$ найдём высоту $H$:

$H^2 = AA_1^2 - AO^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$

Отсюда $H = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}$.

Теперь можем вычислить объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{2}$.

Ответ: $\frac{a^3}{2}$.

18.24. Через вершины $B, D$ и $C_1$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол $60^\circ$. Расстояние от точки $C$ до проведённой плоскости равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите объём призмы.

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ правильная, её основание $ABCD$ является квадратом, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону квадрата как $a$, а высоту призмы как $h = CC_1$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = a^2 h$.

Нахождение угла между плоскостями

Плоскость сечения проходит через точки $B, D, C_1$. Линией пересечения плоскости сечения $(BDC_1)$ и плоскости основания $(ABC)$ является диагональ $BD$.

Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведёнными к их линии пересечения в одной точке.

В основании призмы лежит квадрат $ABCD$, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, отрезок $CO$ перпендикулярен линии пересечения $BD$.

Так как призма правильная, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $CC_1 \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CO$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $(ACC_1)$, то прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $(ACC_1)$. Это означает, что $BD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, $BD \perp C_1O$.

Таким образом, $CO \perp BD$ и $C_1O \perp BD$. Угол между плоскостями $(BDC_1)$ и $(ABC)$ равен линейному углу $\angle C_1OC$. По условию, $\angle C_1OC = 60^\circ$.

Нахождение стороны основания и высоты призмы

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle C_1CO$ (угол $\angle C = 90^\circ$, так как $CC_1 \perp (ABC)$).

Расстояние от точки $C$ до плоскости $(BDC_1)$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на эту плоскость. Так как $BD \perp (ACC_1)$, то плоскость $(BDC_1)$ перпендикулярна плоскости $(ACC_1)$. Линия их пересечения — $C_1O$. Следовательно, перпендикуляр из точки $C$ на плоскость $(BDC_1)$ лежит в плоскости $(ACC_1)$ и является высотой $CK$ треугольника $\triangle C_1CO$, опущенной на гипотенузу $C_1O$. По условию, $CK = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle COK$ ($\angle CKO = 90^\circ$ по построению, $\angle COK = \angle C_1OC = 60^\circ$):$sin(\angle COK) = \frac{CK}{CO}$Отсюда находим $CO$:$CO = \frac{CK}{sin(60^\circ)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 4$ см.

$CO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = 2 \cdot CO = 2 \cdot 4 = 8$ см. Сторона квадрата $a$ связана с диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$.$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдём высоту призмы $h = CC_1$ из треугольника $\triangle C_1CO$:$tg(\angle C_1OC) = \frac{CC_1}{CO}$$h = CC_1 = CO \cdot tg(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Вычисление объёма призмы

Площадь основания (квадрата):$S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$.

Объём призмы:$V = S_{осн} \cdot h = 32 \cdot 4\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $128\sqrt{3}$ см$^3$.

18.25. Через вершины $A$, $C$ и $B_1$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью основания призмы угол $45^\circ$. Расстояние от точки $B$ до проведённой плоскости равно $3\sqrt{2}$ см. Найдите объём призмы.

Пусть дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Обозначим сторону основания за $a$, а высоту призмы за $h = BB_1$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

1. Нахождение связи между высотой призмы и стороной основания

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $C$ и $B_1$. Линией пересечения этой плоскости и плоскости основания $ABC$ является прямая $AC$. Угол между плоскостью сечения $(ACB_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол, который по условию равен $45^\circ$.

Для нахождения линейного угла этого двугранного угла построим перпендикуляры к общей прямой $AC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$.

• В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является также и высотой, следовательно, $BM \perp AC$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
• Треугольник $ACB_1$ является равнобедренным, так как $AB_1 = CB_1$ (как диагонали равных боковых граней-прямоугольников). Следовательно, медиана $B_1M$ также является высотой, то есть $B_1M \perp AC$.

Таким образом, линейным углом двугранного угла является угол $\angle BMB_1$. По условию $\angle BMB_1 = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BMB_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, значит $BB_1 \perp BM$. Следовательно, $\triangle BMB_1$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B$.

В этом треугольнике катеты $BB_1=h$ и $BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тангенс угла $\angle BMB_1$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle BMB_1) = \frac{BB_1}{BM}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}$

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то:

$1 = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

2. Нахождение высоты призмы и стороны основания

Расстояние от точки $B$ до плоскости $(ACB_1)$ по условию равно $3\sqrt{2}$ см. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на плоскость $(ACB_1)$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(BMB_1)$ (поскольку $AC \perp BM$ и $AC \perp B_1M$), то плоскость $(ACB_1)$, проходящая через $AC$, также перпендикулярна плоскости $(BMB_1)$. Перпендикуляр из точки $B$ (которая лежит в плоскости $BMB_1$) на плоскость $(ACB_1)$ будет лежать в плоскости $(BMB_1)$ и будет являться высотой треугольника $BMB_1$, проведенной из вершины $B$ к стороне $B_1M$.

В прямоугольном треугольнике $BMB_1$ угол $\angle BMB_1 = 45^\circ$, значит, он является равнобедренным, и $BB_1 = BM = h$.

Расстояние $d$ от точки $B$ до гипотенузы $B_1M$ в этом треугольнике можно найти по формуле $d = BB_1 \cdot \cos(\angle BMB_1)$ или $d = BM \cdot \sin(\angle BMB_1)$.

$d = h \cdot \sin(45^\circ) = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим известное значение расстояния $d = 3\sqrt{2}$ см:

$3\sqrt{2} = h \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда находим высоту призмы $h$:

$h = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Теперь, используя найденное соотношение, найдем сторону основания $a$:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies 6 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема призмы

Объем призмы $V$ равен произведению площади основания $S_{осн}$ на высоту $h$.

Площадь основания (равностороннего треугольника $ABC$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение $a = 4\sqrt{3}$ см:

$S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объем призмы, зная $S_{осн}$ и $h = 6$ см:

$V = S_{осн} \cdot h = 12\sqrt{3} \cdot 6 = 72\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см$^3$.

18.26. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 30 см и 40 см. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда и образующая с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение:

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$. Стороны основания равны $AD = 30$ см и $AB = 40$ см. Высота параллелепипеда равна $h = AA_1$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Площадь основания $S_{осн} = AD \cdot AB = 30 \cdot 40 = 1200$ см². Для нахождения объема необходимо найти высоту $h$.

По условию, через диагональ основания проведена плоскость $\alpha$. Выберем диагональ основания $BD$. Плоскость $\alpha$ проходит через $BD$.

Также плоскость $\alpha$ параллельна диагонали параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда не должна пересекать диагональ основания $BD$ и не лежать с ней в одной плоскости (иначе плоскость сечения была бы диагональной плоскостью параллелепипеда). Выберем диагональ $AC_1$.

Построим сечение. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. $O$ является серединой $AC$. Пусть $M$ — середина ребра $C_1C$. Тогда отрезок $OM$ является средней линией треугольника $ACC_1$. Следовательно, $OM \parallel AC_1$.

Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через прямую $BD$ и параллельна прямой $AC_1$, а $OM \parallel AC_1$, то плоскость $\alpha$ содержит прямую $OM$. Таким образом, искомая плоскость сечения — это плоскость, проходящая через точки $B, D, M$. Сечением является треугольник $BDM$.

Угол между плоскостью сечения $BDM$ и плоскостью основания $ABCD$ равен $30^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $BD$.

Для нахождения линейного угла построим плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла $BD$. Проведем в плоскости основания из точки $C$ перпендикуляр $CH$ к диагонали $BD$. Так как $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, то $CC_1 \perp CH$. Треугольник $MCH$ — прямоугольный ($\angle MCH = 90^\circ$).

По теореме о трех перпендикулярах, так как $CH$ — проекция наклонной $MH$ на плоскость основания и $CH \perp BD$, то и наклонная $MH \perp BD$.

Следовательно, угол $\angle MHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle MHC = 30^\circ$.

Найдем длину $CH$. В прямоугольном треугольнике $BCD$ ($CD=AB=40$ см, $BC=AD=30$ см) гипотенуза $BD$ по теореме Пифагора равна:
$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.
Высота $CH$, проведенная к гипотенузе $BD$, может быть найдена через площадь треугольника $BCD$:
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH$
$30 \cdot 40 = 50 \cdot CH$
$CH = \frac{1200}{50} = 24$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MCH$. Катет $MC$ равен половине высоты параллелепипеда, так как $M$ — середина $C_1C$: $MC = \frac{h}{2}$. Катет $CH = 24$ см. Угол $\angle MHC = 30^\circ$.
Из определения тангенса угла:
$\tan(\angle MHC) = \frac{MC}{CH}$
$\tan(30^\circ) = \frac{h/2}{24} = \frac{h}{48}$
Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48}$
$h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Найдем объем параллелепипеда:
$V = S_{осн} \cdot h = 1200 \cdot 16\sqrt{3} = 19200\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $19200\sqrt{3}$ см³.

18.27. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$, диагонали которого равны 8 см и $4\sqrt{5}$ см. Угол между плоскостью, проходящей через прямые $AD$ и $B_1C_1$, и плоскостью основания призмы равен $45^\circ$. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Сначала найдём площадь основания призмы. Основанием является ромб $ABCD$ с диагоналями $d_1 = 8$ см и $d_2 = 4\sqrt{5}$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см$^2$.

Далее найдём высоту призмы $H$. Высота прямой призмы равна её боковому ребру, например, $H = BB_1$. Угол между плоскостью, проходящей через прямые $AD$ и $B_1C_1$ (это плоскость сечения $AB_1C_1D$), и плоскостью основания $(ABCD)$ равен $45^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AD$.

Для построения линейного угла двугранного угла проведём высоту ромба $BK$ к стороне $AD$. Таким образом, $BK \perp AD$. Так как призма прямая, её боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $BB_1 \perp BK$. Прямая $BK$ является проекцией наклонной $B_1K$ на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах, так как проекция $BK \perp AD$, то и сама наклонная $B_1K \perp AD$. Следовательно, угол $\angle B_1KB$ является линейным углом данного двугранного угла, и по условию $\angle B_1KB = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BK$ (угол $\angle B$ прямой, так как $BB_1 \perp$ плоскости основания). Чтобы найти высоту призмы $H=BB_1$, нам нужно найти длину катета $BK$, который является высотой ромба. Для этого сначала вычислим сторону ромба $a$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей ($\frac{d_1}{2}=4$ см, $\frac{d_2}{2}=2\sqrt{5}$ см) и стороной ромба, по теореме Пифагора находим сторону $a$:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$ см.

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. Отсюда высота ромба $BK = h = \frac{S_{ABCD}}{a} = \frac{16\sqrt{5}}{6} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle B_1BK$ с острым углом $45^\circ$ катеты равны, поэтому высота призмы $H = BB_1 = BK = \frac{8\sqrt{5}}{3}$ см. Это также следует из того, что $\tan(45^\circ) = \frac{H}{BK}$, а так как $\tan(45^\circ)=1$, то $H = BK$.

Наконец, вычислим объём призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = 16\sqrt{5} \cdot \frac{8\sqrt{5}}{3} = \frac{16 \cdot 8 \cdot (\sqrt{5})^2}{3} = \frac{128 \cdot 5}{3} = \frac{640}{3}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{640}{3}$ см$^3$.

18.28. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб, одна из диагоналей которого равна 24 см. Диагональ одной из боковых граней равна $13\sqrt{3}$ см и перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром параллелепипеда и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Нахождение высоты параллелепипеда (H)
По условию, диагональ одной из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что длина этой диагонали и есть высота параллелепипеда. Таким образом, $H = 13\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение стороны основания (a)
Пусть основанием параллелепипеда является ромб $ABCD$, а боковое ребро — $AA_1$. Боковая грань — это параллелограмм $ABB_1A_1$. Диагональ этой грани, например $A_1B$, перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BA$. Так как $A_1B \perp (ABCD)$, то $A_1B$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Следовательно, $\triangle A_1BA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1BA$. Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между ребром $AA_1$ и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $AA_1$ на плоскость основания является сторона ромба $AB$. Таким образом, угол $\angle A_1AB = 60°$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1BA$:

• Катет $A_1B = H = 13\sqrt{3}$ см.
• Катет $AB = a$ — сторона ромба.
• $\angle A_1AB = 60°$.

Найдем сторону ромба $a$ через тангенс угла $\angle A_1AB$:$\tan(60°) = \frac{A_1B}{AB} = \frac{H}{a}$$\sqrt{3} = \frac{13\sqrt{3}}{a}$Отсюда $a = \frac{13\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 13$ см.

3. Нахождение площади основания (S_осн)
Основанием является ромб со стороной $a = 13$ см. Одна из его диагоналей, по условию, равна $d_1 = 24$ см. Площадь ромба можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. По теореме Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$13^2 = (\frac{24}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$169 = 12^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$169 = 144 + (\frac{d_2}{2})^2$$(\frac{d_2}{2})^2 = 169 - 144 = 25$$\frac{d_2}{2} = \sqrt{25} = 5$ см. Значит, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 5 = 10$ см. Теперь найдем площадь основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120$ см².

4. Нахождение объема параллелепипеда (V)
Теперь мы можем вычислить объем:$V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot 13\sqrt{3} = 1560\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $1560\sqrt{3} \text{ см}^3$.

18.29. Высота наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $6\sqrt{2} \text{ см}$, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Площадь грани $AA_1B_1B$ равна $36 \text{ см}^2$, грани $AA_1C_1C - 48 \text{ см}^2$, а двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен $120^\circ$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объема наклонной призмы воспользуемся формулой $V = S_{\perp} \cdot L$, где $S_{\perp}$ — площадь перпендикулярного сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковым ребрам), а $L$ — длина бокового ребра. Решение задачи можно разбить на следующие шаги:

1. Нахождение длины бокового ребра призмы

Пусть $L$ — длина бокового ребра призмы (например, $AA_1$), $H$ — её высота, а $\alpha$ — угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Эти величины связаны соотношением $H = L \cdot \sin \alpha$.

По условию задачи, высота $H = 6\sqrt{2}$ см, а угол наклона $\alpha = 45°$. Выразим и найдем длину бокового ребра:

$L = \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45°}$

Зная, что $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$L = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12$ см.

2. Нахождение площади перпендикулярного сечения

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру $AA_1$. Пусть это сечение — треугольник $KMN$, где точка $K$ лежит на ребре $AA_1$, точка $M$ — на ребре $BB_1$, и точка $N$ — на ребре $CC_1$. По построению, $KM \perp AA_1$ и $KN \perp AA_1$.

Площадь боковой грани (которая является параллелограммом) равна произведению длины бокового ребра на высоту, проведенную к этому ребру. В нашем случае, стороны перпендикулярного сечения $KM$ и $KN$ являются высотами для граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ соответственно, проведенными к ребру $AA_1$.

Для грани $AA_1B_1B$ с площадью $S_{AA_1B_1B} = 36$ см² имеем:

$S_{AA_1B_1B} = L \cdot KM \implies 36 = 12 \cdot KM \implies KM = 3$ см.

Для грани $AA_1C_1C$ с площадью $S_{AA_1C_1C} = 48$ см² имеем:

$S_{AA_1C_1C} = L \cdot KN \implies 48 = 12 \cdot KN \implies KN = 4$ см.

Двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ — это угол между плоскостями граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$. Этот угол равен углу между линиями $KM$ и $KN$ в перпендикулярном сечении. Таким образом, $\angle MKN = 120°$.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения $S_{\perp}$ (площадь треугольника $KMN$) по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot KN \cdot \sin(\angle MKN) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin(120°)$

Используя значение $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S_{\perp} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление объема призмы

Объем призмы равен произведению площади её перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$V = S_{\perp} \cdot L$

Подставим найденные значения:

$V = 3\sqrt{3} \cdot 12 = 36\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $36\sqrt{3}$ см³.

18.30. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 2 см. Боковое ребро призмы равно 5 см и образует с двумя соседними сторонами основания углы по $60^\circ$. Найдите объём призмы.

Для нахождения объёма призмы воспользуемся формулой $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 2$ см. Его площадь вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив значение стороны, получим:$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Далее найдём высоту призмы. Пусть боковое ребро $l = 5$ см выходит из вершины $A$ основания и образует с двумя соседними сторонами основания $AB$ и $AC$ углы по 60°. Опустим из конца бокового ребра (вершины $A_1$) перпендикуляр $A_1O$ на плоскость основания. Длина этого перпендикуляра и есть высота призмы $H$. Отрезок $AO$ является проекцией ребра $A_1A$ на плоскость основания. Угол между ребром $A_1A$ и его проекцией $AO$ на плоскость основания обозначим $\alpha$. Тогда $H = l \cdot \sin(\alpha)$.

По свойству проекций, так как боковое ребро образует одинаковые углы со сторонами $AB$ и $AC$, его проекция $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Поскольку основание — правильный треугольник, $\angle BAC = 60^\circ$, и, следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

Косинус угла между наклонной ($A_1A$) и прямой, лежащей в плоскости ($AB$), связан с углом наклона $\alpha$ и углом $\angle OAB$ соотношением: $\cos(\angle A_1AB) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\angle OAB)$. Подставим известные значения:$\cos(60^\circ) = \cos(\alpha) \cdot \cos(30^\circ)$$\frac{1}{2} = \cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, найдём $\sin(\alpha)$:$\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь вычислим высоту призмы:$H = l \cdot \sin(\alpha) = 5 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ см.

Наконец, найдём объём призмы:$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3} = \frac{5\sqrt{18}}{3} = \frac{5 \cdot \sqrt{9 \cdot 2}}{3} = \frac{5 \cdot 3\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2}$ см³.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см³.

18.31. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат, а каждая его боковая грань – ромб со стороной $a$ и углом $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объём наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем площадь основания.

Основанием параллелепипеда является квадрат. Из условия задачи, каждая боковая грань — это ромб со стороной $a$. Стороны основания также являются сторонами боковых граней. Следовательно, сторона квадрата, лежащего в основании, равна $a$.

Площадь основания (квадрата) равна:

$S_{осн} = a^2$

2. Найдем высоту параллелепипеда.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — квадратное основание со стороной $AB = a$. Боковое ребро $AA_1$ также равно $a$, так как оно является стороной боковой грани-ромба.

Боковые грани $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ — это ромбы со стороной $a$ и углом 60°. Это означает, что острые углы этих ромбов примыкают к вершине $A$. То есть, $\angle A_1AB = 60°$ и $\angle A_1AD = 60°$.

Проведем высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Длина $A_1O$ и есть искомая высота $H$.

Поскольку боковые ребра $AA_1$ одинаково наклонены к сторонам основания $AB$ и $AD$ (углы $\angle A_1AB$ и $\angle A_1AD$ равны), то проекция $AO$ ребра $AA_1$ на плоскость основания будет являться биссектрисой угла $\angle BAD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\angle BAD = 90°$, и его биссектрисой является диагональ $AC$. Таким образом, точка $O$ лежит на диагонали $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1OA$. В нем $A_1A = a$ (гипотенуза), $A_1O = H$ (катет). Чтобы найти $H$, нам нужно найти длину катета $AO$.

Для нахождения $AO$ спроецируем точку $O$ на стороны $AB$ и $AD$. Пусть $OK \perp AB$ и $OM \perp AD$. Тогда в прямоугольной плоскости основания четырехугольник $AKOM$ является прямоугольником. Так как $AO$ — биссектриса угла $\angle KAM$, то $AKOM$ — квадрат.

Теперь рассмотрим трехгранный угол при вершине $A$. Ребра $AA_1, AB, AD$ имеют длину $a$. $\angle A_1AB = \angle A_1AD = 60°$, $\angle DAB = 90°$.

Длину $AK$ можно найти как проекцию $A_1K$ на плоскость основания, где $A_1K$ - высота в треугольнике $A_1AB$. Проще использовать векторы или рассмотреть проекции.

Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Вершина $B$ на оси Ox: $B(a,0,0)$. Вершина $D$ на оси Oy: $D(0,a,0)$. Пусть координаты вершины $A_1$ будут $(x,y,z)$.

Длина ребра $AA_1$ равна $a$, значит $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$.

Скалярное произведение векторов $\vec{AA_1} = (x,y,z)$ и $\vec{AB} = (a,0,0)$ равно:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AB}| \cos(\angle A_1AB) = a \cdot a \cdot \cos(60°) = \frac{a^2}{2}$

С другой стороны, $\vec{AA_1} \cdot \vec{AB} = x \cdot a + y \cdot 0 + z \cdot 0 = ax$.

Приравнивая, получаем $ax = \frac{a^2}{2}$, откуда $x = \frac{a}{2}$.

Аналогично для векторов $\vec{AA_1} = (x,y,z)$ и $\vec{AD} = (0,a,0)$:

$\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = |\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AD}| \cos(\angle A_1AD) = a \cdot a \cdot \cos(60°) = \frac{a^2}{2}$

С другой стороны, $\vec{AA_1} \cdot \vec{AD} = x \cdot 0 + y \cdot a + z \cdot 0 = ay$.

Приравнивая, получаем $ay = \frac{a^2}{2}$, откуда $y = \frac{a}{2}$.

Теперь найдем $z$, которое и является высотой $H$. Подставим $x$ и $y$ в уравнение длины ребра:

$(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + z^2 = a^2$

$\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + z^2 = a^2$

$\frac{a^2}{2} + z^2 = a^2$

$z^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

$z = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, высота параллелепипеда $H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычислим объём параллелепипеда.

$V = S_{осн} \cdot H = a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Объём параллелепипеда равен $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.

18.32. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 3 см. Одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом с диагональю 4 см. Найдите объём призмы.

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Основанием призмы является правильный треугольник со стороной $a = 3$ см. Найдём его площадь по формуле площади равностороннего треугольника:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$ см².

По условию, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и является ромбом. Сторона ромба, которая также является стороной основания, равна 3 см. Следовательно, все стороны этого ромба равны 3 см, и боковое ребро призмы $l$ также равно 3 см.

Так как плоскость этой грани-ромба перпендикулярна плоскости основания, то высота призмы $H$ совпадает с высотой этого ромба. Найдём высоту ромба со стороной $l = 3$ см и диагональю $d_1 = 4$ см.

Сначала найдём вторую диагональ ромба $d_2$, используя свойство, связывающее стороны и диагонали ромба: $d_1^2 + d_2^2 = 4l^2$.
$4^2 + d_2^2 = 4 \cdot 3^2$
$16 + d_2^2 = 36$
$d_2^2 = 20$
$d_2 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Теперь, зная обе диагонали, можем найти площадь ромба:$S_{ромба} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ см².

Площадь ромба также можно выразить через произведение его стороны на высоту: $S_{ромба} = l \cdot H$.$4\sqrt{5} = 3 \cdot H$
Отсюда находим высоту призмы:$H = \frac{4\sqrt{5}}{3}$ см.

Наконец, вычислим объём призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты в исходную формулу:$V = S_{осн} \cdot H = \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3}$
$V = \frac{9 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{4 \cdot 3} = 3\sqrt{15}$ см³.

Ответ: $3\sqrt{15}$ см³.