Номер 18.28, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.28. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб, одна из диагоналей которого равна 24 см. Диагональ одной из боковых граней равна $13\sqrt{3}$ см и перпендикулярна плоскости основания. Угол между боковым ребром параллелепипеда и плоскостью основания равен $60^\circ$. Найдите объём параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Нахождение высоты параллелепипеда (H)
По условию, диагональ одной из боковых граней перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что длина этой диагонали и есть высота параллелепипеда. Таким образом, $H = 13\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение стороны основания (a)
Пусть основанием параллелепипеда является ромб $ABCD$, а боковое ребро — $AA_1$. Боковая грань — это параллелограмм $ABB_1A_1$. Диагональ этой грани, например $A_1B$, перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1BA$. Так как $A_1B \perp (ABCD)$, то $A_1B$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$. Следовательно, $\triangle A_1BA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle A_1BA$. Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания $ABCD$ — это угол между ребром $AA_1$ и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $AA_1$ на плоскость основания является сторона ромба $AB$. Таким образом, угол $\angle A_1AB = 60°$. В прямоугольном треугольнике $\triangle A_1BA$:

• Катет $A_1B = H = 13\sqrt{3}$ см.
• Катет $AB = a$ — сторона ромба.
• $\angle A_1AB = 60°$.

Найдем сторону ромба $a$ через тангенс угла $\angle A_1AB$:$\tan(60°) = \frac{A_1B}{AB} = \frac{H}{a}$$\sqrt{3} = \frac{13\sqrt{3}}{a}$Отсюда $a = \frac{13\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 13$ см.

3. Нахождение площади основания (S_осн)
Основанием является ромб со стороной $a = 13$ см. Одна из его диагоналей, по условию, равна $d_1 = 24$ см. Площадь ромба можно найти по формуле $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим один из четырех прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. По теореме Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$13^2 = (\frac{24}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$169 = 12^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$169 = 144 + (\frac{d_2}{2})^2$$(\frac{d_2}{2})^2 = 169 - 144 = 25$$\frac{d_2}{2} = \sqrt{25} = 5$ см. Значит, вторая диагональ $d_2 = 2 \cdot 5 = 10$ см. Теперь найдем площадь основания:$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120$ см².

4. Нахождение объема параллелепипеда (V)
Теперь мы можем вычислить объем:$V = S_{осн} \cdot H = 120 \cdot 13\sqrt{3} = 1560\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $1560\sqrt{3} \text{ см}^3$.