Страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют объёмом тела?

2. Что значит измерить объём многогранника?

3. По какой формуле вычисляют объём призмы?

1. Что называют объёмом тела?
Объём тела — это положительная величина, которая характеризует часть пространства, занимаемую этим телом. Объём обладает следующими свойствами:
1. Равные тела имеют равные объёмы.
2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
3. В качестве единицы измерения объёма обычно используют объём куба, ребро которого равно единице длины. Такой куб называют единичным. Объём измеряется в кубических единицах (например, $см^3$, $м^3$).
Ответ: Объёмом тела называют положительную величину, которая показывает, какую часть пространства занимает тело.

2. Что значит измерить объём многогранника?
Измерить объём многогранника — значит найти число, которое показывает, сколько раз выбранная единица измерения объёма (например, кубический сантиметр) и её части укладываются в данном многограннике. Процесс измерения объёма является сравнением объёма данного тела с объёмом тела, принятого за единицу. За единицу измерения объёмов принимают куб, ребро которого равно единице измерения длин.
Ответ: Измерить объём многогранника — это сравнить его с единицей измерения объёма, то есть выяснить, сколько единичных кубов помещается внутри этого многогранника.

3. По какой формуле вычисляют объём призмы?
Объём любой призмы, как прямой, так и наклонной, вычисляется по формуле, связывающей площадь её основания и высоту. Объём призмы равен произведению площади её основания на высоту.
Математически это выражается следующей формулой:
$V = S_{осн} \cdot h$
где:
$V$ — объём призмы,
$S_{осн}$ — площадь основания призмы (площадь многоугольника, лежащего в основании),
$h$ — высота призмы (расстояние между плоскостями оснований).
Например, для прямоугольного параллелепипеда, который является частным случаем прямой призмы, с измерениями $a, b, c$ формула принимает вид $V = a \cdot b \cdot c$, так как площадь основания $S_{осн} = a \cdot b$, а высота $h = c$.
Ответ: Объём призмы вычисляют по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.

18.1. Найдите объём правильной четырёхугольной призмы, сторона основания которой равна $a$, а угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $\alpha$.

18.1. Объём правильной четырёхугольной призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат со стороной $a$. Следовательно, площадь основания равна $S_{осн} = a^2$. Высоту призмы $h$ найдём из прямоугольного треугольника, образованного диагональю призмы, диагональю основания и боковым ребром (которое равно высоте). Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $\alpha$. Этот угол является углом между самой диагональю и её проекцией на плоскость основания, то есть диагональю основания. Длина диагонали основания (квадрата) по теореме Пифагора равна $d_{осн} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а диагональ основания $d_{осн}$ — прилежащим катетом. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\alpha) = \frac{h}{d_{осн}}$Отсюда выражаем высоту:$h = d_{осн} \cdot \tan(\alpha) = a\sqrt{2}\tan(\alpha)$. Теперь можем вычислить объём призмы, подставив найденные значения площади основания и высоты в формулу объёма:$V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot (a\sqrt{2}\tan(\alpha)) = a^3\sqrt{2}\tan(\alpha)$.

Ответ: $a^3\sqrt{2}\tan(\alpha)$.

18.2. Высота правильной треугольной призмы равна $h$, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём призмы.

Дана правильная треугольная призма. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными плоскости основания.

Пусть сторона основания призмы равна $a$, а высота призмы, по условию, равна $h$. Объем призмы $V$ вычисляется по формуле:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ – площадь основания.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:
$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Чтобы найти объем, нам необходимо выразить сторону основания $a$ через известные величины $h$ и $\alpha$.

Рассмотрим боковую грань призмы. Это прямоугольник со сторонами $a$ (сторона основания) и $h$ (высота призмы). Диагональ этой боковой грани, сторона основания $a$ и боковое ребро $h$ образуют прямоугольный треугольник.

По условию, диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Этот угол является углом между самой диагональю (которая является наклонной к плоскости основания) и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали боковой грани на плоскость основания является сторона основания $a$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет – это высота призмы $h$;
• второй катет – это сторона основания $a$;
• угол, противолежащий катету $h$ и прилежащий к катету $a$, равен $\alpha$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{a}$
Выразим отсюда сторону основания $a$:
$a = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cot(\alpha)$

Теперь подставим найденное выражение для $a$ в формулу площади основания:
$S_{осн} = \frac{(h \cot(\alpha))^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{h^2 \cot^2(\alpha) \sqrt{3}}{4}$

Наконец, вычислим объем призмы, подставив площадь основания в формулу объема:
$V = S_{осн} \cdot h = \left( \frac{h^2 \cot^2(\alpha) \sqrt{3}}{4} \right) \cdot h = \frac{\sqrt{3} h^3 \cot^2(\alpha)}{4}$

Ответ: $V = \frac{\sqrt{3}h^3\cot^2\alpha}{4}$

18.3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 9 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму данного параллелепипеда.

Для решения задачи необходимо сперва найти объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_п$) вычисляется как произведение трех его измерений (длины, ширины и высоты) по формуле: $V_п = a \cdot b \cdot c$.

Подставим в формулу данные из условия: измерения параллелепипеда равны 4 см, 6 см и 9 см.

$V_п = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 216 \text{ см}^3$.

По условию, объем куба ($V_к$) равен объему данного параллелепипеда. Таким образом, $V_к = 216 \text{ см}^3$.

Объем куба находится по формуле $V_к = d^3$, где $d$ – это длина ребра куба. Чтобы найти ребро куба, нужно извлечь кубический корень из его объема.

$d = \sqrt[3]{V_к} = \sqrt[3]{216 \text{ см}^3}$.

Так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$, то ребро куба равно 6 см.

Ответ: 6 см.

18.4. Рёбра прямоугольного параллелепипеда пропорциональны числам 2, 3 и 6, а его диагональ равна 14 см. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $a$, $b$ и $c$. По условию, они пропорциональны числам 2, 3 и 6. Введём коэффициент пропорциональности $k$ ($k > 0$), тогда длины рёбер можно выразить как:
$a = 2k$
$b = 3k$
$c = 6k$

Квадрат диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для диагонали: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Известно, что диагональ $d = 14$ см. Подставим выражения для рёбер и значение диагонали в формулу:
$14^2 = (2k)^2 + (3k)^2 + (6k)^2$
$196 = 4k^2 + 9k^2 + 36k^2$
$196 = (4 + 9 + 36)k^2$
$196 = 49k^2$

Теперь найдём значение коэффициента $k$:
$k^2 = \frac{196}{49}$
$k^2 = 4$
$k = \sqrt{4} = 2$ (так как длина ребра не может быть отрицательной).

Зная коэффициент пропорциональности, вычислим длины рёбер параллелепипеда:
$a = 2k = 2 \cdot 2 = 4$ см
$b = 3k = 3 \cdot 2 = 6$ см
$c = 6k = 6 \cdot 2 = 12$ см

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его рёбер: $V = a \cdot b \cdot c$.
$V = 4 \cdot 6 \cdot 12 = 288$ см$^3$.

Ответ: 288 см$^3$.