Номер 18.18, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 18. Объём тела. Формулы для вычисления объёма призмы. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 18.18, страница 174.

Условие.

18.18. Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равны $S_1$, $S_2$ и $S_3$. Найдите объём параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$.

Три грани, сходящиеся в одной вершине, имеют рёбра, соответствующие этим трём измерениям. Площади этих граней представляют собой произведения пар измерений:

$S_1 = a \cdot b$

$S_2 = b \cdot c$

$S_3 = a \cdot c$

Объём $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c$

Чтобы выразить объём через известные площади, перемножим выражения для площадей $S_1$, $S_2$ и $S_3$:

$S_1 \cdot S_2 \cdot S_3 = (a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c)$

Сгруппируем множители в правой части равенства:

$S_1 S_2 S_3 = a^2 b^2 c^2 = (abc)^2$

Поскольку объём $V = abc$, мы можем подставить $V$ в полученное уравнение:

$S_1 S_2 S_3 = V^2$

Чтобы найти объём $V$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как объём и площади являются положительными величинами, мы рассматриваем только положительное значение корня.

$V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$

Ответ: $V = \sqrt{S_1 S_2 S_3}$