Номер 18.8, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.8. Основание прямой призмы — ромб со стороной 8 см и углом $60^\circ$. Меньшая диагональ призмы равна 17 см. Найдите объём призмы.

Объём прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

1. Найдём площадь основания призмы.

Основанием является ромб со стороной $a = 8$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба можно найти по формуле: $S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$.

$S_{осн} = 8^2 \cdot \sin(60°) = 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Найдём высоту призмы.

Так как призма прямая, её высота $h$ равна боковому ребру. Меньшая диагональ призмы ($D_{меньш}$), меньшая диагональ основания ($d_{меньш}$) и высота призмы ($h$) образуют прямоугольный треугольник, в котором диагональ призмы является гипотенузой. Следовательно, по теореме Пифагора: $D_{меньш}^2 = d_{меньш}^2 + h^2$.

Найдём меньшую диагональ ромба ($d_{меньш}$). Она лежит против острого угла в 60°. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю. Этот треугольник равнобедренный (две стороны равны 8 см) с углом 60° между ними. Следовательно, этот треугольник является равносторонним, и все его стороны равны.

Таким образом, меньшая диагональ ромба $d_{меньш} = 8$ см.

Теперь мы можем найти высоту призмы. Нам дано, что меньшая диагональ призмы $D_{меньш} = 17$ см.

$17^2 = 8^2 + h^2$

$289 = 64 + h^2$

$h^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

3. Найдём объём призмы.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объём призмы.

$V = S_{осн} \cdot h = 32\sqrt{3} \cdot 15 = 480\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $480\sqrt{3}$ см³.