Страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. По каким формулам вычисляют объём конуса?

2. По каким формулам вычисляют объём усечённого конуса?

3. По каким формулам вычисляют объём цилиндра?

4. По какой формуле вычисляют объём шара?

5. По какой формуле вычисляют объём шарового сегмента?

6. Как можно вычислить объём шарового слоя?

7. По какой формуле вычисляют объём шарового сектора?

1. По каким формулам вычисляют объём конуса?

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Если $S_{осн}$ — площадь основания конуса (круга), а $h$ — его высота, то формула объёма выглядит так: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$.

Поскольку основанием конуса является круг с радиусом $r$, его площадь равна $S_{осн} = \pi r^2$. Подставив это в основную формулу, получаем наиболее распространённую формулу для вычисления объёма конуса.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

2. По каким формулам вычисляют объём усечённого конуса?

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле, которая связывает его высоту и радиусы двух оснований (верхнего и нижнего).

Пусть $h$ — высота усечённого конуса, $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. Тогда объём $V$ вычисляется следующим образом:

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

3. По каким формулам вычисляют объём цилиндра?

Объём цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Если $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота, то формула имеет вид: $V = S_{осн} h$.

Так как основание цилиндра — это круг с радиусом $r$, его площадь равна $S_{осн} = \pi r^2$. Таким образом, формула для объёма цилиндра записывается так:

Ответ: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

4. По какой формуле вычисляют объём шара?

Объём шара зависит только от его радиуса. Если радиус шара равен $R$, то его объём $V$ вычисляется по следующей формуле:

Ответ: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

5. По какой формуле вычисляют объём шарового сегмента?

Шаровой сегмент — это часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Его объём вычисляется по формуле, использующей радиус шара $R$ и высоту сегмента $h$.

Ответ: $V = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

6. Как можно вычислить объём шарового слоя?

Шаровой слой — это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями. Объём шарового слоя можно вычислить как разность объёмов двух шаровых сегментов.

Для этого нужно найти объём большего шарового сегмента, который отсекается одной из плоскостей, и вычесть из него объём меньшего шарового сегмента, отсекаемого другой плоскостью (при условии, что центр шара не лежит между плоскостями).

Если $V_1$ — объём большего сегмента, а $V_2$ — объём меньшего сегмента, то объём шарового слоя $V$ будет равен их разности.

Ответ: $V = V_1 - V_2$.

7. По какой формуле вычисляют объём шарового сектора?

Шаровой сектор — это тело, состоящее из шарового сегмента и конуса, вершина которого находится в центре шара, а основание совпадает с основанием сегмента. Объём шарового сектора вычисляется по формуле, которая связывает радиус шара $R$ и высоту соответствующего шарового сегмента $h$.

Ответ: $V = \frac{2}{3} \pi R^2 h$.

20.1. Высота цилиндра равна $H$, а осевое сечение цилиндра является квадратом. Найдите объём цилиндра.

20.1. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию задачи, высота цилиндра $h = H$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $h$, а другая — диаметру его основания $D$. Поскольку это сечение является квадратом, его стороны равны. Следовательно, высота цилиндра равна диаметру его основания:

$h = D$

Так как $h = H$, то и диаметр $D = H$.

Радиус основания $R$ в два раза меньше диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{H}{2}$.

Теперь подставим значения высоты $h=H$ и радиуса $R = \frac{H}{2}$ в формулу объёма цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{H}{2}\right)^2 \cdot H = \pi \cdot \frac{H^2}{4} \cdot H = \frac{\pi H^3}{4}$.

Ответ: $V = \frac{\pi H^3}{4}$.

20.2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 20 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите объём цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $d$. Диагональ этого прямоугольника $D$, высота $h$ и диаметр $d$ образуют прямоугольный треугольник.

Из условия задачи нам дано:

• Диагональ осевого сечения $D = 20$ см.
• Угол между диагональю и плоскостью основания $\alpha = 30°$.

В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю $D$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет, противолежащий углу $\alpha$) и диаметром $d$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), мы можем найти $h$ и $d$.

1. Найдём высоту цилиндра $h$.

Высота является катетом, противолежащим углу в $30°$, поэтому она равна половине гипотенузы:

$h = D \cdot \sin(30°) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

2. Найдём диаметр основания $d$.

Диаметр является катетом, прилежащим к углу в $30°$:

$d = D \cdot \cos(30°) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

3. Найдём радиус основания $R$.

Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

4. Вычислим объём цилиндра $V$.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$. Подставим найденные значения $R$ и $h$:

$V = \pi \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot 10 = \pi \cdot (25 \cdot 3) \cdot 10 = \pi \cdot 75 \cdot 10 = 750\pi$ см³.

Ответ: $750\pi$ см³.

20.3. В цилиндрический сосуд, наполненный водой, погрузили металлическую деталь. При этом деталь оказалась полностью покрытой водой. Уровень воды в сосуде поднялся на 14 см, не достигнув края сосуда. Найдите объём детали, если внутренний диаметр сосуда равен 20 см.

Согласно закону Архимеда, объём погруженной в жидкость детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Когда деталь погружают в цилиндрический сосуд, вытесненная вода образует воображаемый цилиндр, высота которого равна высоте подъёма уровня воды, а основание совпадает с основанием сосуда.

Таким образом, чтобы найти объём детали, нужно найти объём этого воображаемого цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Основание сосуда представляет собой круг. Площадь круга находится по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.

Внутренний диаметр сосуда по условию равен $d = 20$ см. Радиус основания будет в два раза меньше:

$R = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Высота подъёма воды, согласно условию, составляет $h = 14$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу для объёма цилиндра, чтобы найти объём детали:

$V_{детали} = \pi R^2 h = \pi \cdot (10 \text{ см})^2 \cdot 14 \text{ см} = \pi \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot 14 \text{ см} = 1400\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $1400\pi \text{ см}^3$.

20.4. Осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, а радиус основания конуса равен $R$. Найдите объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота конуса.

По условию задачи, радиус основания конуса равен $R$, то есть $r = R$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими и диаметром основания. В данном случае этот треугольник является равносторонним.

Стороны этого треугольника равны. Основание треугольника — это диаметр основания конуса $d = 2r = 2R$. Боковые стороны — это образующие конуса $l$.

Так как треугольник равносторонний, то его образующая равна диаметру основания:

$l = d = 2R$.

Высота конуса $h$ является высотой этого равностороннего треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + R^2$

Подставим известные значения:

$(2R)^2 = h^2 + R^2$

$4R^2 = h^2 + R^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2$

Отсюда находим высоту:

$h = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

Теперь подставим значения радиуса $r=R$ и высоты $h=R\sqrt{3}$ в формулу для объёма конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 (R\sqrt{3})$

$V = \frac{\pi R^3 \sqrt{3}}{3}$

Ответ: $V = \frac{\pi R^3 \sqrt{3}}{3}$

20.5. Найдите объём конуса, высота которого равна 4 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен $30^\circ$.

Для нахождения объёма конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

где $V$ – объём конуса, $R$ – радиус его основания, а $H$ – высота.

Из условия задачи нам известна высота $H = 4$ см. Нам необходимо найти радиус основания $R$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высота конуса $H$, радиус основания $R$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $H$ и $R$ являются катетами, а $L$ – гипотенузой.

Угол между образующей и плоскостью основания – это угол между гипотенузой $L$ и катетом $R$. По условию, этот угол равен $30^\circ$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу.

Связь между катетами и углом в прямоугольном треугольнике можно выразить через тангенс:

$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{H}{R}$

Выразим радиус $R$ из этой формулы:

$R = \frac{H}{\tan(30^\circ)}$

Подставим известные значения: $H = 4$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$R = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить объём конуса, подставив значения $R$ и $H$ в исходную формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 4$

Сначала вычислим квадрат радиуса:

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см².

Теперь подставим это значение в формулу объёма:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 48 \cdot 4 = 16 \pi \cdot 4 = 64\pi$ см³.

Ответ: $64\pi$ см³.

20.6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из углов — $60^{\circ}$. Найдите объём тела, полученного в результате вращения данного треугольника вокруг прямой, содержащей катет, прилежащий к данному углу.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его гипотенузу как $c$, а катеты как $a$ и $b$. По условию, гипотенуза $c = 10$ см, а один из острых углов равен $60^\circ$.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов, является конусом.

В данном случае вращение происходит вокруг катета, прилежащего к углу $60^\circ$. Этот катет станет высотой конуса ($H$). Другой катет, противолежащий углу $60^\circ$, станет радиусом основания конуса ($R$).

Найдем длины катетов, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

• Катет, прилежащий к углу $60^\circ$ (высота конуса $H$):
  $H = c \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
• Катет, противолежащий углу $60^\circ$ (радиус основания конуса $R$):
  $R = c \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная высоту $H$ и радиус основания $R$ конуса, можем вычислить его объём $V$ по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим найденные значения $R = 5\sqrt{3}$ см и $H = 5$ см в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi (25 \cdot 3) \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5$

$V = 25 \pi \cdot 5 = 125\pi$ см$^3$.

Ответ: $125\pi$ см$^3$.

20.7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов — 5 см. Найдите объём тела, полученного в результате вращения этого треугольника вокруг прямой, содержащей данный катет.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. В данном случае, осью вращения является прямая, содержащая катет длиной 5 см. Следовательно, высота этого конуса $h$ будет равна длине этого катета.

Дано:
Гипотенуза треугольника (которая является образующей конуса) $l = 13$ см.
Один из катетов (который является высотой конуса) $h = 5$ см.

Второй катет треугольника является радиусом основания конуса $r$. Найдем его длину по теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.

$13^2 = 5^2 + r^2$
$169 = 25 + r^2$
$r^2 = 169 - 25$
$r^2 = 144$
$r = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь, когда мы знаем высоту $h = 5$ см и радиус основания $r = 12$ см, мы можем найти объём конуса по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим наши значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 \cdot \pi = 240\pi$ см³.

Ответ: $240\pi$ см³.