Страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.8. Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 8 см и 14 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания равен $45^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся формулой объёма усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $V$ – объём, $h$ – высота, $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания.

Из условия задачи известны радиусы оснований:

$R = 14$ см

$r = 8$ см

Необходимо найти высоту $h$. Для этого рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Боковая сторона этой трапеции является образующей конуса, а основания равны диаметрам оснований конуса.

Угол между образующей и плоскостью большего основания по условию равен $45^\circ$. В трапеции это угол между боковой стороной и большим основанием.

Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему. Мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• один катет равен высоте усечённого конуса $h$;
• второй катет равен разности радиусов оснований $R - r$;
• гипотенуза является образующей конуса;
• острый угол при основании равен $45^\circ$.

Найдём длину второго катета:

$R - r = 14 - 8 = 6$ см.

Так как один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:

$h = R - r = 6$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчёта объёма. Подставим значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6 \cdot (14^2 + 14 \cdot 8 + 8^2)$

Выполним вычисления:

$V = 2\pi (196 + 112 + 64)$

$V = 2\pi (372)$

$V = 744\pi$ см³

Ответ: $744\pi$ см³.

20.9. Найдите объём усечённого конуса, радиусы оснований которого равны 1 см и 3 см, а образующая равна $2\sqrt{5}$ см.

Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $h$ — высота конуса.

По условию задачи, радиусы оснований равны $R=3$ см и $r=1$ см, а образующая $l = 2\sqrt{5}$ см. Для вычисления объёма необходимо найти высоту усечённого конуса $h$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является образующая $l$, а катетами — высота $h$ и разность радиусов $R-r$.

По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + (R-r)^2$.

Отсюда найдём высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Подставим известные значения:

$R - r = 3 - 1 = 2$ см.

$h = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{4 \cdot 5 - 4} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, зная высоту, можем вычислить объём усечённого конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot (3^2 + 3 \cdot 1 + 1^2)$

$V = \frac{4\pi}{3} (9 + 3 + 1)$

$V = \frac{4\pi}{3} \cdot 13 = \frac{52\pi}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{52\pi}{3}$ см³.

20.10. Докажите, что объёмы двух шаров относятся как кубы их радиусов.

Пусть даны два шара. Обозначим радиус первого шара как $R_1$, а его объём как $V_1$. Соответственно, радиус второго шара обозначим как $R_2$, а его объём как $V_2$.

Объём шара вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.

Запишем формулы для объёмов наших двух шаров:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Чтобы найти, как относятся объёмы двух шаров, составим их отношение (разделим объём первого шара на объём второго):

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}$

Сократим общий для числителя и знаменателя множитель $\frac{4}{3}\pi$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$

Полученное выражение показывает, что отношение объёмов двух шаров равно отношению кубов их радиусов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение объёмов двух шаров равно отношению кубов их радиусов: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.

20.11. Объёмы двух шаров относятся как $8:125$. Найдите отношение их радиусов.

Пусть $V_1$ и $V_2$ — объёмы двух шаров, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы соответственно.

Формула для вычисления объёма шара имеет вид: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Согласно условию задачи, отношение объёмов двух шаров равно:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{8}{125}$

Теперь подставим формулу объёма в это отношение:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3}$

Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, мы видим, что отношение объёмов шаров равно отношению кубов их радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

Приравняем это выражение к заданному отношению объёмов:
$\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \frac{8}{125}$

Чтобы найти искомое отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2}$, необходимо извлечь кубический корень из обеих частей равенства:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{125}}$

Вычислим значение корня:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5}$

Таким образом, радиусы шаров относятся как 2 к 5.

Ответ: 2 : 5

20.12. Найдите объём шара, описанного около куба, ребро которого равно $a$.

20.12.

Для нахождения объема шара, описанного около куба, необходимо сначала определить радиус этого шара. Шар считается описанным около куба, если все вершины куба лежат на поверхности шара. В этом случае центр шара совпадает с центром куба, а диаметр шара $D$ равен главной диагонали куба $d$.

Пусть ребро куба равно $a$.

1. Найдем длину главной диагонали куба. Сначала найдем диагональ $d_г$ одной из граней куба (которая является квадратом со стороной $a$) по теореме Пифагора:

$d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d_г = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

2. Теперь найдем главную диагональ куба $d$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_г$. Снова применяем теорему Пифагора:

$d^2 = a^2 + d_г^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

3. Диаметр описанного шара $D$ равен главной диагонали куба: $D = d = a\sqrt{3}$.

4. Радиус шара $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь, зная радиус, можем вычислить объём шара $V$ по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3(\sqrt{3})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{8}$

Сокращая числитель и знаменатель, получаем:

$V = \frac{4 \cdot \pi \cdot a^3 \cdot 3\sqrt{3}}{3 \cdot 8} = \frac{4\pi a^3 \sqrt{3}}{8} = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{2}$

20.13. Найдите объём шара, вписанного в куб, ребро которого равно $a$.

Пусть ребро куба равно $a$. Шар, вписанный в куб, касается всех шести граней куба в их центрах. Следовательно, расстояние между двумя противоположными гранями куба равно диаметру вписанного шара. Так как расстояние между противоположными гранями куба равно его ребру $a$, то диаметр шара $d$ равен $a$.

Радиус шара $r$ равен половине его диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$

Объём шара $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Подставим найденное выражение для радиуса $r$ в формулу объёма шара и упростим:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{8} = \frac{4\pi a^3}{3 \cdot 8} = \frac{4\pi a^3}{24} = \frac{\pi a^3}{6}$

Ответ: $\frac{\pi a^3}{6}$

20.14. Алюминиевый провод диаметром 10 мм имеет массу 16,3 кг. Плотность алюминия равна $2600 \, \text{кг/м}^3$. Сколько метров составляет длина провода? Ответ округлите до единиц.

Для решения этой задачи необходимо найти объем алюминиевого провода, а затем, зная его площадь поперечного сечения, вычислить длину.

1. Связь между массой, плотностью и объемом определяется формулой:$ \rho = \frac{m}{V} $где $ \rho $ — плотность, $ m $ — масса, $ V $ — объем.

Отсюда мы можем выразить объем провода:$ V = \frac{m}{\rho} $Подставим известные значения:$ V = \frac{16.3 \text{ кг}}{2600 \text{ кг/м³}} \approx 0.006269 \text{ м³} $

2. Провод представляет собой цилиндр, объем которого также можно вычислить по формуле:$ V = S \cdot L $где $ S $ — площадь поперечного сечения, а $ L $ — длина провода.

3. Площадь поперечного сечения (круга) находится по формуле:$ S = \pi r^2 $, где $ r $ — радиус сечения. Радиус равен половине диаметра $ d $: $ r = \frac{d}{2} $.

Перед расчетом площади переведем диаметр из миллиметров в метры, чтобы все единицы были согласованы (система СИ):$ d = 10 \text{ мм} = 0.01 \text{ м} $Тогда радиус:$ r = \frac{0.01 \text{ м}}{2} = 0.005 \text{ м} $

Теперь вычислим площадь поперечного сечения:$ S = \pi \cdot (0.005 \text{ м})^2 = \pi \cdot 0.000025 \text{ м²} \approx 0.00007854 \text{ м²} $

4. Теперь, зная объем и площадь поперечного сечения, мы можем найти длину провода $ L $:$ L = \frac{V}{S} $$ L \approx \frac{0.006269 \text{ м³}}{0.00007854 \text{ м²}} \approx 79.822 \text{ м} $

Также можно было сразу выразить длину $L$ через исходные данные:$ L = \frac{V}{S} = \frac{m / \rho}{\pi (d/2)^2} = \frac{m}{\rho \cdot \pi \cdot (d/2)^2} $$ L = \frac{16.3}{2600 \cdot \pi \cdot (0.005)^2} = \frac{16.3}{2600 \cdot \pi \cdot 0.000025} = \frac{16.3}{0.065 \cdot \pi} \approx 79.822 \text{ м} $

5. По условию задачи ответ необходимо округлить до единиц (до целого числа):$ 79.822 \text{ м} \approx 80 \text{ м} $

Ответ: 80

20.15. Свинцовая труба, толщина стенки которой равна 4 мм, имеет внутренний диаметр 32 мм. Плотность свинца равна $11 400 \text{ кг}/\text{м}^3$. Сколько килограммов составляет масса трубы, если её длина равна 15 м? Ответ округлите до единиц.

Для того чтобы найти массу свинцовой трубы, необходимо сначала вычислить объём материала, из которого она состоит, а затем умножить этот объём на плотность свинца. Масса вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ — плотность, а $V$ — объём.

Труба представляет собой полый цилиндр. Объём её материала можно найти как разность объёмов внешнего и внутреннего цилиндров. Формула для объёма полого цилиндра: $V = \pi L (R^2 - r^2)$, где $L$ — длина трубы, $R$ — её внешний радиус, а $r$ — внутренний радиус.

Сначала приведём все размеры к единой системе измерений (метры), так как плотность дана в кг/м³.

• Длина трубы: $L = 15$ м.
• Толщина стенки: $h = 4 \text{ мм} = 0.004 \text{ м}$.
• Внутренний диаметр: $d = 32 \text{ мм} = 0.032 \text{ м}$.

Теперь найдём внутренний и внешний радиусы трубы.

Внутренний радиус $r$ равен половине внутреннего диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{0.032 \text{ м}}{2} = 0.016 \text{ м}$.

Внешний радиус $R$ равен сумме внутреннего радиуса и толщины стенки:

$R = r + h = 0.016 \text{ м} + 0.004 \text{ м} = 0.020 \text{ м}$.

Подставим найденные значения в формулу для объёма:

$V = \pi \cdot L \cdot (R^2 - r^2) = \pi \cdot 15 \cdot (0.020^2 - 0.016^2)$

$V = 15\pi \cdot (0.0004 - 0.000256) = 15\pi \cdot 0.000144 = 0.00216\pi \text{ м}^3$.

Теперь, зная объём и плотность свинца ($\rho = 11400 \text{ кг/м}^3$), можем вычислить массу трубы:

$m = \rho \cdot V = 11400 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.00216\pi \text{ м}^3 = 24.624\pi \text{ кг}$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$m \approx 24.624 \cdot 3.14159 \approx 77.358 \text{ кг}$.

По условию задачи, ответ нужно округлить до единиц. Округляя $77.358$ до ближайшего целого числа, получаем $77$.

Ответ: 77

20.16. Радиус шара равен 8 см, а высота его сегмента — 3 см. Найдите:

1) объём сегмента;

2) объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту.

1) объём сегмента;

Для нахождения объёма шарового сегмента используется формула:
$V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

По условию задачи, радиус шара $R = 8$ см, а высота сегмента $h = 3$ см.
Подставим эти значения в формулу:
$V_{сегмента} = \pi \cdot 3^2 \cdot (8 - \frac{3}{3}) = \pi \cdot 9 \cdot (8 - 1) = 9\pi \cdot 7 = 63\pi$ (см³).

Ответ: $63\pi$ см³.

2) объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту

Объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту, вычисляется по формуле:
$V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего сегмента.

Используя данные из условия, $R = 8$ см и $h = 3$ см, подставим их в формулу:
$V_{сектора} = \frac{2}{3} \pi \cdot 8^2 \cdot 3 = \frac{2}{3} \pi \cdot 64 \cdot 3 = 2 \cdot 64\pi = 128\pi$ (см³).

Ответ: $128\pi$ см³.

20.17. Объём шарового сегмента равен $360\pi \text{ см}^3$, а его высота равна $6 \text{ см}$.

Найдите:

1) радиус шара;

2) объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту.

1) радиус шара
Объём шарового сегмента вычисляется по формуле: $V_{сегм} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$, где $V_{сегм}$ — объём сегмента, $h$ — высота сегмента, а $R$ — радиус шара.
По условию задачи $V_{сегм} = 360\pi$ см³, а $h = 6$ см. Подставим эти значения в формулу и найдём $R$:
$360\pi = \pi \cdot 6^2 (R - \frac{6}{3})$
$360\pi = 36\pi (R - 2)$
Разделим обе части уравнения на $36\pi$:
$\frac{360\pi}{36\pi} = R - 2$
$10 = R - 2$
$R = 10 + 2$
$R = 12$ см.
Ответ: 12 см.

2) объём шарового сектора, соответствующего данному сегменту
Объём шарового сектора вычисляется по формуле: $V_{сект} = \frac{2}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — радиус шара, а $h$ — высота соответствующего сегмента.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $R = 12$ см, а из условия $h = 6$ см. Подставим эти значения в формулу:
$V_{сект} = \frac{2}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 6$
$V_{сект} = \frac{2}{3} \pi \cdot 144 \cdot 6$
$V_{сект} = 2 \pi \cdot 144 \cdot \frac{6}{3}$
$V_{сект} = 2 \pi \cdot 144 \cdot 2$
$V_{сект} = 4 \pi \cdot 144$
$V_{сект} = 576\pi$ см³.
Ответ: $576\pi$ см³.

20.18. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости которого до оси цилиндра равно 12 см. Диагональ сечения равна $10\sqrt{5}$ см, а радиус основания цилиндра — 13 см. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

По условию задачи, радиус основания $R = 13$ см. Для нахождения объёма необходимо определить высоту цилиндра $H$.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $a$ в основании цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра — окружность с радиусом $R = 13$ см. Хорда $a$ находится на расстоянии $d = 12$ см от центра окружности. Радиус, проведённый к концу хорды, образует прямоугольный треугольник с катетами $d$ (расстояние до хорды) и $a/2$ (половина длины хорды), и гипотенузой $R$ (радиус). По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (a/2)^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 12^2 + (a/2)^2$

$169 = 144 + (a/2)^2$

$(a/2)^2 = 169 - 144 = 25$

$a/2 = \sqrt{25} = 5$ см

Следовательно, длина хорды (ширина сечения) равна $a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольное сечение. Его стороны — это ширина $a = 10$ см и высота $H$. Диагональ сечения $D = 10\sqrt{5}$ см. По теореме Пифагора для прямоугольника сечения:

$D^2 = a^2 + H^2$

Подставим известные значения:

$(10\sqrt{5})^2 = 10^2 + H^2$

$100 \cdot 5 = 100 + H^2$

$500 = 100 + H^2$

$H^2 = 500 - 100 = 400$

$H = \sqrt{400} = 20$ см

Теперь, зная радиус $R = 13$ см и высоту $H = 20$ см, можем найти объём цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 13^2 \cdot 20 = \pi \cdot 169 \cdot 20 = 3380\pi$ см³.

Ответ: $3380\pi$ см³.

20.19. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол $\beta$ и удалена от неё на расстояние, равное $d$. Найдите объём цилиндра.

Для нахождения объёма цилиндра $V = \pi R^2 H$ необходимо определить его радиус $R$ и высоту $H$ через заданные параметры: угол $\alpha$, угол $\beta$ и расстояние $d$. Решение можно разбить на несколько этапов.

1. Нахождение радиуса основания $R$

Секущая плоскость параллельна оси цилиндра, следовательно, в основании сечения лежит хорда. Пусть $O$ — центр основания, $R$ — его радиус. Хорда отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $\alpha$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и этой хордой. Угол при вершине $O$ (центральный угол) равен $\alpha$. Расстояние от центра $O$ до хорды является высотой этого треугольника, опущенной на основание-хорду.

В условии задачи сказано, что диагональ полученного сечения удалена от оси цилиндра на расстояние $d$. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна основанию, а плоскость сечения параллельна оси, то расстояние $d$ от оси до диагонали сечения равно расстоянию от центра основания до хорды сечения. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$, половиной хорды и расстоянием $d$, имеем:

$d = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Отсюда выражаем радиус основания цилиндра:

$R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

2. Нахождение высоты цилиндра $H$

Сечение представляет собой прямоугольник. Его стороны — это хорда в основании, длина которой $w$, и образующая цилиндра, длина которой равна высоте цилиндра $H$.

Диагональ этого прямоугольника составляет с осью цилиндра угол $\beta$. Так как образующая $H$ параллельна оси, то угол между диагональю и образующей также равен $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю сечения, образующей $H$ и хордой $w$. В этом треугольнике $H$ и $w$ — катеты. Угол, противолежащий катету $w$, равен $\beta$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\tan(\beta) = \frac{w}{H}$

Длину хорды $w$ можно выразить через радиус $R$ и угол $\alpha$ из того же треугольника в основании, который мы рассматривали в первом пункте:

$\frac{w}{2} = R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \implies w = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим это выражение для $w$ в формулу для тангенса:

$\tan(\beta) = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2})}{H}$

Выразим высоту $H$:

$H = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для $R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$:

$H = \frac{2 \cdot \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)} = \frac{2d \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}}{\tan(\beta)} = \frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$

3. Вычисление объёма цилиндра $V$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления объёма цилиндра по формуле $V = \pi R^2 H$.

Подставляем выражения для $R$ и $H$:

$V = \pi \left(\frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 \left(\frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}\right)$

Упрощаем полученное выражение:

$V = \pi \cdot \frac{d^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$

$V = \frac{2\pi d^3 \tan(\frac{\alpha}{2})}{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}$

Ответ: $V = \frac{2\pi d^3 \tan(\frac{\alpha}{2})}{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}$.

20.20. В основании конуса хорда, равная $a$, стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\beta$. Найдите объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса. Для решения задачи необходимо последовательно найти радиус основания $R$ и высоту $H$.

1. Нахождение радиуса основания R

В основании конуса лежит круг. Хорда длиной $a$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведёнными к её концам. Центральный угол этого треугольника, противолежащий хорде, равен градусной мере дуги, то есть $\alpha$.

Опустим из центра круга перпендикуляр на хорду. В равнобедренном треугольнике этот перпендикуляр является высотой, медианой и биссектрисой. Он делит хорду на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$ и центральный угол на два равных угла величиной $\frac{\alpha}{2}$.

В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенузой является радиус $R$, а катетом, противолежащим углу $\frac{\alpha}{2}$, является половина хорды $\frac{a}{2}$. Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике следует: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выразим радиус $R$: $R = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$

2. Нахождение высоты конуса H

Угол $\beta$ между образующей конуса и плоскостью его основания — это угол между образующей и радиусом, проведённым в точку касания образующей и основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ (катет), радиусом основания $R$ (другой катет) и образующей (гипотенуза). В этом треугольнике угол между радиусом и образующей равен $\beta$.

Из определения тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\beta) = \frac{H}{R}$

Выразим высоту $H$: $H = R \cdot \tan(\beta)$

Подставим найденное ранее выражение для $R$: $H = \frac{a \tan(\beta)}{2\sin(\alpha/2)}$

3. Вычисление объёма конуса V

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$: $S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}$

Теперь подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма конуса: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} \cdot \frac{a \tan(\beta)}{2\sin(\alpha/2)}$

Упрощая полученное выражение, получаем окончательный результат: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{24\sin^3(\alpha/2)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{24\sin^3(\alpha/2)}$.

20.21. Хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания конуса угол $60^\circ$. Высота конуса равна $\sqrt{3}$ см. Найдите объём конуса.

Обозначим конус: $S$ – вершина, $O$ – центр основания, $H = SO$ – высота, $R$ – радиус основания. По условию, высота конуса $H = SO = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим основание конуса. Пусть $AB$ – хорда, которая стягивает дугу в $60^\circ$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы). Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Таким образом, $AB = OA = OB = R$.

Пусть $M$ – середина хорды $AB$. Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой хорды, – это отрезок $SM$. Угол, который этот отрезок образует с плоскостью основания, – это угол между отрезком $SM$ и его проекцией на плоскость основания. Проекцией точки $S$ на плоскость основания является точка $O$, а точка $M$ лежит в плоскости основания. Следовательно, проекцией отрезка $SM$ на плоскость основания является отрезок $OM$. Таким образом, угол, о котором говорится в задаче, – это $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Так как $SO$ – высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $SO \perp OM$, и $\triangle SOM$ – прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle SOM$. В этом треугольнике нам известны катет $SO = H = \sqrt{3}$ и угол $\angle SMO = 60^\circ$. Мы можем найти второй катет $OM$:$ \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} $$ \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{OM} $Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:$ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{OM} \Rightarrow OM = 1 $ см.

Теперь вернемся к основанию и рассмотрим равносторонний треугольник $\triangle AOB$. Отрезок $OM$ является в нем медианой (по построению), а значит, и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA = R$, катет $OM = 1$, а катет $AM$ равен половине стороны $AB$, то есть $AM = \frac{AB}{2} = \frac{R}{2}$. По теореме Пифагора:$ OA^2 = OM^2 + AM^2 $$ R^2 = 1^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 $$ R^2 = 1 + \frac{R^2}{4} $$ R^2 - \frac{R^2}{4} = 1 $$ \frac{3R^2}{4} = 1 $$ R^2 = \frac{4}{3} $

Теперь мы можем найти объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставим известные значения $R^2 = \frac{4}{3}$ и $H = \sqrt{3}$:$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9} $ см$^3$.

Ответ: $\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.