Номер 20.21, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.21. Хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания конуса угол $60^\circ$. Высота конуса равна $\sqrt{3}$ см. Найдите объём конуса.

Обозначим конус: $S$ – вершина, $O$ – центр основания, $H = SO$ – высота, $R$ – радиус основания. По условию, высота конуса $H = SO = \sqrt{3}$ см.

Рассмотрим основание конуса. Пусть $AB$ – хорда, которая стягивает дугу в $60^\circ$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, следовательно, центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы). Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен $60^\circ$, то этот треугольник является равносторонним. Таким образом, $AB = OA = OB = R$.

Пусть $M$ – середина хорды $AB$. Отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой хорды, – это отрезок $SM$. Угол, который этот отрезок образует с плоскостью основания, – это угол между отрезком $SM$ и его проекцией на плоскость основания. Проекцией точки $S$ на плоскость основания является точка $O$, а точка $M$ лежит в плоскости основания. Следовательно, проекцией отрезка $SM$ на плоскость основания является отрезок $OM$. Таким образом, угол, о котором говорится в задаче, – это $\angle SMO = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. Так как $SO$ – высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $SO \perp OM$, и $\triangle SOM$ – прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle SOM$. В этом треугольнике нам известны катет $SO = H = \sqrt{3}$ и угол $\angle SMO = 60^\circ$. Мы можем найти второй катет $OM$:$ \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} $$ \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{OM} $Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:$ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{OM} \Rightarrow OM = 1 $ см.

Теперь вернемся к основанию и рассмотрим равносторонний треугольник $\triangle AOB$. Отрезок $OM$ является в нем медианой (по построению), а значит, и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA = R$, катет $OM = 1$, а катет $AM$ равен половине стороны $AB$, то есть $AM = \frac{AB}{2} = \frac{R}{2}$. По теореме Пифагора:$ OA^2 = OM^2 + AM^2 $$ R^2 = 1^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 $$ R^2 = 1 + \frac{R^2}{4} $$ R^2 - \frac{R^2}{4} = 1 $$ \frac{3R^2}{4} = 1 $$ R^2 = \frac{4}{3} $

Теперь мы можем найти объём конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставим известные значения $R^2 = \frac{4}{3}$ и $H = \sqrt{3}$:$ V = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4\pi\sqrt{3}}{9} $ см$^3$.

Ответ: $\frac{4\pi\sqrt{3}}{9}$ см$^3$.