Номер 20.25, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.25. Равнобокую трапецию с основаниями 1 см и 25 см вращают вокруг прямой, содержащей её большее основание. Найдите объём образовавшегося тела, если известно, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $a = AD = 25$ см, а меньшее основание $b = BC = 1$ см.

1. Нахождение параметров трапеции

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, суммы длин её противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции, боковые стороны которой равны ($c = AB = CD$), это свойство записывается как:

$AB + CD = AD + BC$

$2c = a + b$

Подставим известные значения оснований:

$2c = 25 + 1 = 26$ см

Отсюда находим длину боковой стороны:

$c = 13$ см

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезки $AH$ и $KD$ равны. Длина отрезка $AH$ вычисляется по формуле:

$AH = \frac{a - b}{2} = \frac{25 - 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + AH^2$

$h^2 = c^2 - AH^2$

Подставим найденные значения $c$ и $AH$:

$h^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см

2. Вычисление объема тела вращения

Тело, образовавшееся при вращении равнобокой трапеции вокруг большего основания, состоит из одного цилиндра и двух одинаковых конусов по бокам.

• Цилиндр образуется вращением прямоугольника $BCHK$. Его радиус равен высоте трапеции $h$, а высота равна меньшему основанию $b$.
• Два конуса образуются вращением прямоугольных треугольников $ABH$ и $DCK$. Радиус основания каждого конуса равен высоте трапеции $h$, а высота конуса равна отрезку $AH$.

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов цилиндра $V_{цил}$ и двух конусов $V_{кон}$:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$. В нашем случае $r=h$ и $H_{цил}=b$:

$V_{цил} = \pi h^2 b = \pi \cdot 5^2 \cdot 1 = 25\pi$ см$^3$

Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{кон}$. В нашем случае $r=h$ и $H_{кон}=AH$:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi h^2 \cdot AH = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см$^3$

Теперь найдем общий объем тела вращения:

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон} = 25\pi + 2 \cdot 100\pi = 25\pi + 200\pi = 225\pi$ см$^3$

Ответ: $225\pi \text{ см}^3$.