Номер 20.30, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.30. В конус вписан шар, радиус которого равен $r$. Найдите объём конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\alpha$.

Обозначим высоту конуса через $H$, а радиус его основания — через $R$. Объем конуса находится по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Чтобы найти объем, необходимо выразить $R$ и $H$ через заданные величины: радиус вписанного шара $r$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиусом $r$ (это сечение вписанного шара). Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина его основания — радиусу основания конуса $R$. Угол между боковой стороной треугольника (образующей конуса) и его основанием по условию равен $\alpha$.

Центр вписанной окружности лежит на высоте конуса (которая также является осью симметрии и высотой треугольника). Расстояние от центра вписанной окружности до основания конуса равно её радиусу $r$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис его углов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, радиусом $R$ и образующей конуса. Биссектриса угла $\alpha$ проходит через центр вписанной окружности.

Это позволяет нам рассмотреть другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания $R$ и отрезок высоты от центра вписанной окружности до основания, равный $r$. Угол при основании в этом новом треугольнике будет равен $\frac{\alpha}{2}$. Из этого треугольника получаем соотношение:
$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{R}$
Отсюда выражаем радиус основания конуса:
$R = \frac{r}{\tan(\frac{\alpha}{2})} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь найдем высоту конуса $H$. Из основного прямоугольного треугольника (в осевом сечении) с катетами $H$ и $R$ и углом $\alpha$ при основании имеем:
$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$
Откуда $H = R \tan(\alpha)$. Подставив найденное ранее выражение для $R$, получаем:
$H = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$.

Наконец, подставим полученные выражения для $R$ и $H$ в формулу объема конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)\right)$
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cot^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\alpha)$
$V = \frac{1}{3} \pi r^3 \tan(\alpha) \cot^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi r^3 \tan(\alpha) \cot^3\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.