Номер 20.23, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.23. Через две образующие конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, которую видно из центра основания конуса под углом $\alpha$. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен $R$.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $SO = H$ — высота конуса, а $R$ — радиус его основания.

Плоскость, проходящая через две образующие $SA$ и $SB$, пересекает основание конуса по хорде $AB$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ в плоскости основания. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами основания, $OA = OB = R$. По условию, угол, под которым хорда $AB$ видна из центра основания, равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный. Проведем в нем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина $AB$, $OM \perp AB$ и $\angle AOM = \frac{\alpha}{2}$. Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ находим длину $OM$:$OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Угол между секущей плоскостью $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это двугранный угол при ребре $AB$. Величина этого угла по условию равна $\beta$. Мы уже установили, что $OM \perp AB$ и $OM$ лежит в плоскости основания. Рассмотрим сечение конуса — треугольник $\triangle SAB$. Так как $SA$ и $SB$ — образующие конуса, то $SA = SB$, и $\triangle SAB$ является равнобедренным. Его медиана $SM$ (поскольку $M$ — середина $AB$) также является его высотой, то есть $SM \perp AB$. Линейным углом двугранного угла между плоскостями $(SAB)$ и основанием является угол между перпендикулярами $OM$ и $SM$, проведенными к их линии пересечения $AB$. Таким образом, $\angle SMO = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOM$. $SO = H$ — высота конуса, поэтому $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Так как прямая $OM$ лежит в плоскости основания и проходит через точку $O$, то $SO \perp OM$. Следовательно, $\triangle SOM$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle SOM$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ катеты $SO$ и $OM$ связаны с углом $\beta$ соотношением:$\tan(\beta) = \frac{SO}{OM} = \frac{H}{OM}$. Отсюда выражаем высоту конуса $H$:$H = OM \cdot \tan(\beta) = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Теперь можем найти объём конуса $V$ по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$. Подставляем найденное выражение для $H$:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right) = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi R^3 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$.