Номер 20.29, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.29. В конус вписан шар, радиус которого равен 3 см. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 см.

Для нахождения объёма конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота.

По условию задачи, радиус основания конуса $R = 6$ см, а радиус вписанного в него шара $r = 3$ см. Нам необходимо найти высоту конуса $H$.

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — вписанная в этот треугольник окружность. Пусть $A$ — вершина конуса, $AM$ — его высота ($H$), $M$ — центр основания. Точка $B$ лежит на окружности основания, тогда $BM$ — это радиус основания конуса ($R=6$ см), а $AB$ — образующая конуса ($L$).

Центр вписанного шара $O$ лежит на высоте $AM$. Расстояние от центра $O$ до основания конуса равно радиусу шара, то есть $OM = r = 3$ см. Также радиусом является перпендикуляр $OK$, опущенный из центра $O$ на образующую $AB$ ($K$ — точка касания). Таким образом, $OK = r = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AOK$.

• В $\triangle ABM$: катеты $AM = H$ и $BM = R = 6$, гипотенуза $AB = L$.
• В $\triangle AOK$: катет $OK = r = 3$, гипотенуза $AO = AM - OM = H - r = H - 3$.

Треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AOK$ подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий острый угол при вершине $A$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{OK}{BM} = \frac{AO}{AB}$

По теореме Пифагора из $\triangle ABM$ найдём образующую $L=AB$: $L = \sqrt{AM^2 + BM^2} = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{H^2 + 6^2} = \sqrt{H^2 + 36}$.

Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{3}{6} = \frac{H - 3}{\sqrt{H^2 + 36}}$

Упростим и решим полученное уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{H - 3}{\sqrt{H^2 + 36}}$

$2(H - 3) = \sqrt{H^2 + 36}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $H-3 \ge 0$, то есть $H \ge 3$:

$(2(H - 3))^2 = (\sqrt{H^2 + 36})^2$

$4(H^2 - 6H + 9) = H^2 + 36$

$4H^2 - 24H + 36 = H^2 + 36$

$3H^2 - 24H = 0$

$3H(H - 8) = 0$

Данное уравнение имеет два корня: $H=0$ и $H=8$. Так как высота конуса не может быть равна нулю, то $H = 8$ см. Это значение удовлетворяет условию $H \ge 3$.

Теперь, зная высоту $H=8$ см и радиус основания $R=6$ см, можем вычислить объём конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \pi \cdot 8 = 96\pi$ см$^3$.

Ответ: $96\pi$ см$^3$.