Номер 20.26, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.26. Найдите объём тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей гипотенузу этого треугольника, если известны его катет $a$ и прилежащий к этому катету угол $\beta$.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, состоит из двух конусов, имеющих общее основание.

Объем этого тела $V$ равен сумме объемов двух конусов:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$где $R$ — радиус общего основания конусов, равный высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу; $h_1$ и $h_2$ — высоты конусов, которые в сумме дают длину гипотенузы треугольника $c$. Таким образом, формула для объема тела вращения имеет вид:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 c$

Найдем $c$ и $R$ через известные катет $a$ и прилежащий к нему угол $\beta$. Пусть в прямоугольном треугольнике катет равен $a$, а прилежащий к нему острый угол равен $\beta$. Тогда гипотенуза $c$ находится из соотношения:$\cos \beta = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{\cos \beta}$

Радиус $R$ (высота, опущенная на гипотенузу) является катетом в другом прямоугольном треугольнике, образованном катетом $a$ (который становится гипотенузой), углом $\beta$ и этой высотой.$\sin \beta = \frac{R}{a} \Rightarrow R = a \sin \beta$

Теперь подставим выражения для $c$ и $R$ в формулу объема:$V = \frac{1}{3}\pi (a \sin \beta)^2 \cdot \frac{a}{\cos \beta} = \frac{1}{3}\pi (a^2 \sin^2 \beta) \frac{a}{\cos \beta} = \frac{\pi a^3 \sin^2 \beta}{3 \cos \beta}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^2 \beta}{3 \cos \beta}$