Номер 20.20, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.20. В основании конуса хорда, равная $a$, стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\beta$. Найдите объём конуса.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса. Для решения задачи необходимо последовательно найти радиус основания $R$ и высоту $H$.

1. Нахождение радиуса основания R

В основании конуса лежит круг. Хорда длиной $a$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $\alpha$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведёнными к её концам. Центральный угол этого треугольника, противолежащий хорде, равен градусной мере дуги, то есть $\alpha$.

Опустим из центра круга перпендикуляр на хорду. В равнобедренном треугольнике этот перпендикуляр является высотой, медианой и биссектрисой. Он делит хорду на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$ и центральный угол на два равных угла величиной $\frac{\alpha}{2}$.

В получившемся прямоугольном треугольнике гипотенузой является радиус $R$, а катетом, противолежащим углу $\frac{\alpha}{2}$, является половина хорды $\frac{a}{2}$. Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике следует: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выразим радиус $R$: $R = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}$

2. Нахождение высоты конуса H

Угол $\beta$ между образующей конуса и плоскостью его основания — это угол между образующей и радиусом, проведённым в точку касания образующей и основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ (катет), радиусом основания $R$ (другой катет) и образующей (гипотенуза). В этом треугольнике угол между радиусом и образующей равен $\beta$.

Из определения тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\tan(\beta) = \frac{H}{R}$

Выразим высоту $H$: $H = R \cdot \tan(\beta)$

Подставим найденное ранее выражение для $R$: $H = \frac{a \tan(\beta)}{2\sin(\alpha/2)}$

3. Вычисление объёма конуса V

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$: $S_{осн} = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\alpha/2)}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}$

Теперь подставим найденные выражения для $S_{осн}$ и $H$ в формулу объёма конуса: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi a^2}{4\sin^2(\alpha/2)} \cdot \frac{a \tan(\beta)}{2\sin(\alpha/2)}$

Упрощая полученное выражение, получаем окончательный результат: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{24\sin^3(\alpha/2)}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan(\beta)}{24\sin^3(\alpha/2)}$.