Номер 20.19, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.19. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $\alpha$, $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$. Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол $\beta$ и удалена от неё на расстояние, равное $d$. Найдите объём цилиндра.

Для нахождения объёма цилиндра $V = \pi R^2 H$ необходимо определить его радиус $R$ и высоту $H$ через заданные параметры: угол $\alpha$, угол $\beta$ и расстояние $d$. Решение можно разбить на несколько этапов.

1. Нахождение радиуса основания $R$

Секущая плоскость параллельна оси цилиндра, следовательно, в основании сечения лежит хорда. Пусть $O$ — центр основания, $R$ — его радиус. Хорда отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $\alpha$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и этой хордой. Угол при вершине $O$ (центральный угол) равен $\alpha$. Расстояние от центра $O$ до хорды является высотой этого треугольника, опущенной на основание-хорду.

В условии задачи сказано, что диагональ полученного сечения удалена от оси цилиндра на расстояние $d$. Поскольку ось цилиндра перпендикулярна основанию, а плоскость сечения параллельна оси, то расстояние $d$ от оси до диагонали сечения равно расстоянию от центра основания до хорды сечения. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$, половиной хорды и расстоянием $d$, имеем:

$d = R \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Отсюда выражаем радиус основания цилиндра:

$R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

2. Нахождение высоты цилиндра $H$

Сечение представляет собой прямоугольник. Его стороны — это хорда в основании, длина которой $w$, и образующая цилиндра, длина которой равна высоте цилиндра $H$.

Диагональ этого прямоугольника составляет с осью цилиндра угол $\beta$. Так как образующая $H$ параллельна оси, то угол между диагональю и образующей также равен $\beta$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю сечения, образующей $H$ и хордой $w$. В этом треугольнике $H$ и $w$ — катеты. Угол, противолежащий катету $w$, равен $\beta$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\tan(\beta) = \frac{w}{H}$

Длину хорды $w$ можно выразить через радиус $R$ и угол $\alpha$ из того же треугольника в основании, который мы рассматривали в первом пункте:

$\frac{w}{2} = R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \implies w = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставим это выражение для $w$ в формулу для тангенса:

$\tan(\beta) = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2})}{H}$

Выразим высоту $H$:

$H = \frac{2R \sin(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для $R = \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$:

$H = \frac{2 \cdot \frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)} = \frac{2d \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}}{\tan(\beta)} = \frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$

3. Вычисление объёма цилиндра $V$

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления объёма цилиндра по формуле $V = \pi R^2 H$.

Подставляем выражения для $R$ и $H$:

$V = \pi \left(\frac{d}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 \left(\frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}\right)$

Упрощаем полученное выражение:

$V = \pi \cdot \frac{d^2}{\cos^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{2d \tan(\frac{\alpha}{2})}{\tan(\beta)}$

$V = \frac{2\pi d^3 \tan(\frac{\alpha}{2})}{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}$

Ответ: $V = \frac{2\pi d^3 \tan(\frac{\alpha}{2})}{\cos^2(\frac{\alpha}{2}) \tan(\beta)}$.