Номер 20.18, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.18. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, расстояние от плоскости которого до оси цилиндра равно 12 см. Диагональ сечения равна $10\sqrt{5}$ см, а радиус основания цилиндра — 13 см. Найдите объём цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

По условию задачи, радиус основания $R = 13$ см. Для нахождения объёма необходимо определить высоту цилиндра $H$.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая — хорде $a$ в основании цилиндра.

Рассмотрим основание цилиндра — окружность с радиусом $R = 13$ см. Хорда $a$ находится на расстоянии $d = 12$ см от центра окружности. Радиус, проведённый к концу хорды, образует прямоугольный треугольник с катетами $d$ (расстояние до хорды) и $a/2$ (половина длины хорды), и гипотенузой $R$ (радиус). По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + (a/2)^2$

Подставим известные значения:

$13^2 = 12^2 + (a/2)^2$

$169 = 144 + (a/2)^2$

$(a/2)^2 = 169 - 144 = 25$

$a/2 = \sqrt{25} = 5$ см

Следовательно, длина хорды (ширина сечения) равна $a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольное сечение. Его стороны — это ширина $a = 10$ см и высота $H$. Диагональ сечения $D = 10\sqrt{5}$ см. По теореме Пифагора для прямоугольника сечения:

$D^2 = a^2 + H^2$

Подставим известные значения:

$(10\sqrt{5})^2 = 10^2 + H^2$

$100 \cdot 5 = 100 + H^2$

$500 = 100 + H^2$

$H^2 = 500 - 100 = 400$

$H = \sqrt{400} = 20$ см

Теперь, зная радиус $R = 13$ см и высоту $H = 20$ см, можем найти объём цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 13^2 \cdot 20 = \pi \cdot 169 \cdot 20 = 3380\pi$ см³.

Ответ: $3380\pi$ см³.