Номер 20.24, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 20. Объёмы тел вращения. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 20.24, страница 194.

Условие.

20.24. Найдите объём тела, полученного в результате вращения треугольника со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вокруг прямой, содержащей его большую сторону.

Решение 1.

Решение 3.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, представляет собой два конуса с общим основанием. Радиусом этого основания является высота треугольника, опущенная на сторону вращения. Вращение происходит вокруг большей стороны, длина которой 21 см.

Даны стороны треугольника $a = 10$ см, $b = 17$ см, и $c = 21$ см. Для нахождения объёма тела вращения сначала найдём радиус общего основания конусов, который равен высоте треугольника $h$, проведенной к стороне $c = 21$ см. Для этого вычислим площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Найдём полупериметр треугольника:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(3 \cdot 8) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 49} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ $см^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$. Отсюда найдем высоту $h$, которая является радиусом $R$ тела вращения:$84 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$$h = \frac{84 \cdot 2}{21} = \frac{168}{21} = 8$ см. Итак, радиус основания конусов $R = 8$ см.

Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов, на которые высота $h$ делит исходный треугольник. Высоты этих конусов, $h_1$ и $h_2$, в сумме дают длину стороны вращения $c$: $h_1 + h_2 = c = 21$ см. Общий объём $V$ вычисляется по формуле:$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi R^2 c$.

Подставим известные значения $R = 8$ см и $c = 21$ см в формулу для объёма:$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 21 = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 21 = \pi \cdot 64 \cdot 7 = 448\pi$ $см^3$.

Ответ: $448\pi$ $см^3$.