Номер 20.31, страница 194 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.31. Из сосуда, имеющего форму конуса, высота которого равна 8 см, а диаметр основания — 12 см, и наполненного до краев водой, перелили воду в сосуд, имеющий форму цилиндра (рис. 20.7). Диаметр основания цилиндра равен 8 см. Какой наименьшей должна быть высота цилиндрического сосуда, чтобы вода из него не выливалась?

Рис. 20.7

20.31.

Чтобы найти наименьшую высоту цилиндрического сосуда, необходимо сначала вычислить объем воды, который находился в коническом сосуде. Затем, зная этот объем, можно определить, какую высоту займет вода в цилиндрическом сосуде. Эта высота и будет искомой минимальной высотой цилиндра.

1. Вычисление объема воды в коническом сосуде.
Объем конуса рассчитывается по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.
Дано:
Высота конуса $H_{конуса} = 8$ см.
Диаметр основания конуса $D_{конуса} = 12$ см.
Радиус основания конуса: $R_{конуса} = \frac{D_{конуса}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Подставляем значения в формулу:
$V_{воды} = V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (6)^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \pi \cdot 8 = 96\pi$ см³.

2. Определение высоты воды в цилиндрическом сосуде.
Объем воды остается неизменным при переливании. Объем цилиндра рассчитывается по формуле: $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота.
Дано:
Диаметр основания цилиндра $D_{цилиндра} = 8$ см.
Радиус основания цилиндра: $r_{цилиндра} = \frac{D_{цилиндра}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Объем воды в цилиндре равен объему конуса: $V_{воды} = 96\pi$ см³.

Теперь можем найти высоту $h$, которую займет вода в цилиндре:
$V_{воды} = \pi (r_{цилиндра})^2 h$
$96\pi = \pi (4)^2 h$
$96\pi = 16\pi h$
Разделим обе части уравнения на $16\pi$:
$h = \frac{96\pi}{16\pi} = 6$ см.

Следовательно, наименьшая высота цилиндрического сосуда, при которой вода не выльется, должна быть равна высоте уровня воды.
Ответ: 6 см.