Номер 20.35, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.35. Радиус одного из оснований усечённого конуса в 4 раза больше радиуса другого основания. Высота усечённого конуса равна 8 см, а диагональ его осевого сечения — 17 см. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ и $r$, где $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего. Пусть $H$ — высота усечённого конуса, а $d$ — диагональ его осевого сечения.

Согласно условию задачи:
$R = 4r$
$H = 8$ см
$d = 17$ см

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а высота трапеции равна высоте конуса $H$. Диагональ трапеции $d$ образует прямоугольный треугольник с высотой $H$ (как одним катетом) и отрезком на большем основании (второй катет). Длина этого второго катета равна сумме радиусов $R+r$.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника:
$d^2 = H^2 + (R+r)^2$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $(R+r)$:
$17^2 = 8^2 + (R+r)^2$
$289 = 64 + (R+r)^2$
$(R+r)^2 = 289 - 64 = 225$
$R+r = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения радиусов:
$\begin{cases} R = 4r \\ R+r = 15 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:
$4r + r = 15$
$5r = 15$
$r = 3$ см.

Теперь найдём $R$:
$R = 4r = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Итак, радиусы оснований усечённого конуса равны 12 см и 3 см.

Объём усечённого конуса $V$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим найденные значения $R$, $r$ и данное значение $H$ в формулу:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 8 \cdot (12^2 + 12 \cdot 3 + 3^2)$
$V = \frac{8\pi}{3} (144 + 36 + 9)$
$V = \frac{8\pi}{3} (189)$

Выполним вычисления:
$V = 8\pi \cdot \frac{189}{3}$
$V = 8\pi \cdot 63$
$V = 504\pi$ см³.

Ответ: $504\pi$ см³.