Номер 20.42, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.42. Центр шара, радиус которого равен 1 см, расположен на ребре двугранного угла, равного $\frac{\pi}{4}$. Найдите радиус шара, объём которого равен объёму части данного шара, принадлежащей двугранному углу.

Пусть $R$ — радиус данного шара, а $\alpha$ — величина двугранного угла. По условию задачи, $R = 1$ см и $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Сначала найдем объём части данного шара, которая находится внутри двугранного угла. Объём всего шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставляя значение $R=1$ см, получаем: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ см³.

Объём части шара ($V_{части}$), принадлежащей двугранному углу, составляет долю от объёма всего шара. Эта доля равна отношению величины двугранного угла $\alpha$ к полному углу, равному $2\pi$. $V_{части} = V_{шара} \cdot \frac{\alpha}{2\pi}$

Подставим известные значения, чтобы найти $V_{части}$: $V_{части} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\pi/4}{2\pi} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\pi}{4 \cdot 2\pi} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$ см³.

По условию, объём нового шара ($V_{нового}$) равен объёму этой части: $V_{нового} = V_{части} = \frac{\pi}{6}$ см³.

Пусть $r$ — искомый радиус нового шара. Объём нового шара также определяется формулой: $V_{нового} = \frac{4}{3}\pi r^3$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $V_{нового}$ и найти $r$: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\pi}{6}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$ и выразим $r^3$: $\frac{4}{3} r^3 = \frac{1}{6}$ $r^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}$ $r^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $r$: $r = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$ см.

Ответ: $0,5$ см.