Номер 20.49, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.49. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и углом $\alpha$. Найдите объём конуса, вписанного в данную пирамиду, если угол между его образующей и плоскостью основания пирамиды равен $\beta$.

Объём конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота. Для решения задачи необходимо найти $r$ и $h$, выраженные через заданные параметры $a$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Нахождение радиуса основания конуса.Так как конус вписан в пирамиду, его основание (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус $r$ этой окружности равен половине высоты ромба, которую обозначим $h_{ромб}$. Высоту ромба со стороной $a$ и углом $\alpha$ находим из определения синуса в прямоугольном треугольнике:$h_{ромб} = a \sin(\alpha)$. Следовательно, радиус основания конуса равен:$r = \frac{h_{ромб}}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2}$.

2. Нахождение высоты конуса.Угол $\beta$ между образующей конуса и плоскостью его основания является углом в прямоугольном треугольнике, который образован высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и самой образующей. В этом треугольнике $h$ является противолежащим катетом к углу $\beta$, а $r$ – прилежащим катетом. Они связаны соотношением:$\tan(\beta) = \frac{h}{r}$. Отсюда выражаем высоту $h$:$h = r \tan(\beta)$. Подставив найденное ранее значение $r$, получаем:$h = \frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)$.

3. Вычисление объёма конуса.Теперь подставим полученные выражения для $r$ и $h$ в формулу объёма конуса:$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2} \tan(\beta)\right)$. Выполним преобразования:$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2 \sin^2(\alpha)}{4}\right) \left(\frac{a \sin(\alpha) \tan(\beta)}{2}\right) = \frac{\pi (a^2 \cdot a)(\sin^2(\alpha) \cdot \sin(\alpha)) \tan(\beta)}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan(\beta)}{24}$.

Ответ: $\frac{\pi a^3 \sin^3(\alpha) \tan(\beta)}{24}$.