Номер 20.54, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.54. Сфера с центром в вершине конуса делит конус на две равновеликие части. Найдите объём шара, ограниченного этой сферой, если радиус основания конуса равен $r$ и угол при вершине его осевого сечения равен $\alpha$.

Для решения задачи найдем сначала объем конуса. Обозначим радиус основания конуса как $r$, высоту как $H$, а угол при вершине осевого сечения как $\alpha$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2r$ и углом при вершине $\alpha$. Высота конуса $H$ является также высотой и биссектрисой этого треугольника, поэтому она делит его на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катеты равны $r$ и $H$, а угол, противолежащий катету $r$, равен $\frac{\alpha}{2}$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{H}$

Отсюда выразим высоту конуса $H$:$H = \frac{r}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Объем конуса $V_{\text{к}}$ вычисляется по формуле:$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi r^2 H$

Подставив выражение для $H$, получим:$V_{\text{к}} = \frac{1}{3}\pi r^2 \left(r \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{3}\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Сфера с центром в вершине конуса и радиусом $R$ высекает из конуса тело, называемое шаровым сектором. Объем шарового сектора $V_{\text{сект}}$ с углом раствора $\alpha$ (то есть с половинным углом $\frac{\alpha}{2}$) определяется формулой:$V_{\text{сект}} = \frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

По условию задачи, сфера делит конус на две равновеликие (равные по объему) части. Это означает, что объем шарового сектора равен половине объема всего конуса:$V_{\text{сект}} = \frac{1}{2}V_{\text{к}}$

Подставим в это равенство выражения для объемов:$\frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Упростим уравнение:$\frac{2}{3}\pi R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{6}\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Умножим обе части на $\frac{3}{\pi}$:$2 R^3 \left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Выразим $R^3$:$R^3 = \frac{r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

Объем шара $V_{\text{ш}}$, ограниченного этой сферой, вычисляется по формуле:$V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное выражение для $R^3$:$V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi \left( \frac{r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)} \right)$

Сократив множитель 4, получим окончательный результат:$V_{\text{ш}} = \frac{\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{3\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$

Ответ: $V = \frac{\pi r^3 \cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{3\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)}$