Номер 20.51, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.51. Образующая усечённого конуса равна $a$, а угол между нею и плоскостью большего основания равен $\alpha$. Найдите объём усечённого конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), высоту конуса как $h$, а его образующую как $l$. Согласно условию задачи, $l = a$.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим вершины этой трапеции как $ABCD$, где $AD = 2R$ и $BC = 2r$ являются основаниями, а $AB = CD = a$ — боковыми сторонами, которые соответствуют образующим конуса.

Угол между образующей и плоскостью большего основания равен $\alpha$. В трапеции $ABCD$ этому углу соответствует угол при большем основании, например, $\angle CDA = \alpha$. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:
Высота конуса $h$ равна катету $CH$: $h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDA) = a \sin \alpha$.
Катет $HD$ равен: $HD = CD \cdot \cos(\angle CDA) = a \cos \alpha$.

В равнобедренной трапеции длина отрезка $HD$ (проекция боковой стороны на большее основание) равна полуразности оснований:
$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$.
Отсюда мы получаем первое важное соотношение: $R - r = a \cos \alpha$.

В условии сказано, что диагонали осевого сечения (трапеции $ABCD$) перпендикулярны. Существует свойство равнобедренной трапеции, согласно которому, если её диагонали перпендикулярны, то её высота равна полусумме оснований:
$h = \frac{AD + BC}{2} = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений для нахождения суммы и разности радиусов:
1) $R + r = h = a \sin \alpha$
2) $R - r = a \cos \alpha$

Формула для вычисления объёма усечённого конуса:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$.

Найдём выражение для скобки $(R^2 + Rr + r^2)$, используя выведенные ранее соотношения. Для удобства преобразуем эту сумму, выразив её через $(R+r)$ и $(R-r)$:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{3}{4}(R^2 + 2Rr + r^2) + \frac{1}{4}(R^2 - 2Rr + r^2) = \frac{3}{4}(R+r)^2 + \frac{1}{4}(R-r)^2$.
Теперь подставим в это выражение наши соотношения:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{3}{4}(a \sin \alpha)^2 + \frac{1}{4}(a \cos \alpha)^2 = \frac{3}{4}a^2 \sin^2 \alpha + \frac{1}{4}a^2 \cos^2 \alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:
$R^2 + Rr + r^2 = \frac{a^2}{4}(3 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \frac{a^2}{4}(3 \sin^2 \alpha + 1 - \sin^2 \alpha) = \frac{a^2}{4}(1 + 2 \sin^2 \alpha)$.

Наконец, подставляем все найденные компоненты в формулу объёма:
$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi (a \sin \alpha) \left( \frac{a^2}{4}(1 + 2 \sin^2 \alpha) \right)$.
После упрощения получаем окончательный результат:
$V = \frac{\pi a^3 \sin \alpha (1 + 2 \sin^2 \alpha)}{12}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin \alpha (1 + 2 \sin^2 \alpha)}{12}$.