Номер 20.47, страница 196 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.47. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите объём конуса, описанного около данной пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. Это означает, что в её основании лежит квадрат, а высота пирамиды проецируется в центр этого квадрата (точку пересечения диагоналей).

Конус, описанный около данной пирамиды, имеет ту же вершину, что и пирамида, и ту же высоту. Основанием конуса является круг, описанный около основания пирамиды (квадрата).

Объём конуса вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$,где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Найдём высоту $H$ и радиус $R$ конуса, используя данные задачи.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром пирамиды (которое является образующей конуса), высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на плоскость основания.

В этом треугольнике:

• гипотенуза – это боковое ребро пирамиды, его длина по условию равна $b$;
• один катет – это высота пирамиды $H$, которая также является высотой конуса;
• второй катет – это проекция бокового ребра на основание. Для правильной четырёхугольной пирамиды эта проекция равна половине диагонали квадрата, что в точности является радиусом $R$ описанной около квадрата окружности.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол между гипотенузой ($b$) и катетом ($R$). По условию этот угол равен $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника, используя тригонометрические соотношения, находим $H$ и $R$:

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:
$H = b \cdot \sin(\alpha)$

Радиус $R$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:
$R = b \cdot \cos(\alpha)$

Теперь подставим найденные значения $H$ и $R$ в формулу для объёма конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (b \cos(\alpha))^2 (b \sin(\alpha))$

$V = \frac{1}{3} \pi (b^2 \cos^2(\alpha)) (b \sin(\alpha))$

$V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi b^3 \sin(\alpha) \cos^2(\alpha)$.