Номер 20.43, страница 195 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.43. В круге проведена хорда $MN$, параллельная диаметру $AB$. Круговой сегмент, ограниченный хордой $MN$ и не имеющий общих точек с диаметром $AB$, вращается вокруг прямой $AB$. Найдите объём образовавшегося тела, если $MN = 1 \text{ см}$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр круга находится в начале координат $O(0,0)$, а диаметр $AB$ лежит на оси абсцисс $Ox$. Уравнение окружности, ограничивающей данный круг, будет $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус круга.

Поскольку хорда $MN$ параллельна диаметру $AB$ (оси $Ox$), ее можно представить уравнением $y = h$, где $h$ — расстояние от центра круга до хорды. Пусть концы хорды имеют координаты $M(-x_0, h)$ и $N(x_0, h)$. Тогда длина хорды $MN$ равна $2x_0$.

Согласно условию задачи, $MN = 1$ см, следовательно, $2x_0 = 1$, и $x_0 = 1/2$ см.

Точки $M$ и $N$ принадлежат окружности, значит, их координаты удовлетворяют ее уравнению:

$x_0^2 + h^2 = R^2$

Подставим известное значение $x_0 = 1/2$:

$(1/2)^2 + h^2 = R^2$

$1/4 + h^2 = R^2$

Отсюда мы можем выразить важную для дальнейших вычислений величину: $R^2 - h^2 = 1/4$.

Тело вращения образуется при вращении кругового сегмента, ограниченного хордой $MN$ и соответствующей дугой, вокруг прямой $AB$, то есть вокруг оси $Ox$. В условии указано, что рассматривается сегмент, "не имеющий общих точек с диаметром $AB$". Это означает, что мы берем меньший из двух сегментов, на которые хорда делит круг. В нашей системе координат это область, ограниченная сверху дугой окружности $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ и снизу хордой $y = h$, для $x$ в пределах от $-1/2$ до $1/2$.

Объём такого тела вращения можно вычислить с помощью метода колец (обобщение метода дисков) по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} (y_{внешнее}(x)^2 - y_{внутреннее}(x)^2) dx$

В нашем случае, пределы интегрирования $a = -1/2$ и $b = 1/2$. Внешний радиус — это расстояние от оси вращения до дуги окружности, $y_{внешнее} = \sqrt{R^2 - x^2}$. Внутренний радиус — это расстояние от оси вращения до хорды, $y_{внутреннее} = h$.

Подставляем эти значения в интеграл:

$V = \pi \int_{-1/2}^{1/2} [(\sqrt{R^2 - x^2})^2 - h^2] dx = \pi \int_{-1/2}^{1/2} (R^2 - x^2 - h^2) dx$

Перегруппируем слагаемые в подынтегральном выражении и используем ранее найденное соотношение $R^2 - h^2 = 1/4$:

$V = \pi \int_{-1/2}^{1/2} [(R^2 - h^2) - x^2] dx = \pi \int_{-1/2}^{1/2} (1/4 - x^2) dx$

Теперь вычислим полученный определённый интеграл:

$\int (1/4 - x^2) dx = \frac{x}{4} - \frac{x^3}{3}$

$V = \pi \left[ \frac{x}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{-1/2}^{1/2} = \pi \left( \left( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{(1/2)^3}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{(-1/2)^3}{3} \right) \right)$

$V = \pi \left( \left( \frac{1}{8} - \frac{1/8}{3} \right) - \left( -\frac{1}{8} - \frac{-1/8}{3} \right) \right) = \pi \left( \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) - \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{24} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{3-1}{24} - \frac{-3+1}{24} \right) = \pi \left( \frac{2}{24} - \frac{-2}{24} \right) = \pi \left( \frac{2}{24} + \frac{2}{24} \right) = \pi \cdot \frac{4}{24} = \frac{\pi}{6}$

Объём образовавшегося тела вращения не зависит от радиуса исходного круга, а только от длины хорды.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.